Пример 1:

Разложите на множители трехчлен x3 + 7×2 + 10x.

Здесь x является общим для всех терминов, поэтому его можно вынести за скобки.

x3 + 7×2 + 10x = x (x2 + 7x + 10)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых равно 10, чтобы разложить на множитель x2 + 7x + 10.

Цифры 2 и 5.

х2 + 7х + 10 = (х + 2) (х + 5)

Следовательно, x3 + 7×2 + 10x = x (x + 2) (x + 5).

Пример 2:

Разложите на множители трехчлен x2y2−5xy2−24y2.

Здесь y2 является общим для всех членов, поэтому его можно вынести за скобки.

x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x2−5x − 24)

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна −5, а произведение которых равно −24, чтобы разложить на множители x2−5x − 24.

Среди пар факторов −24 два числа, которые имеют сумму −5, — это −8 и 2.

Итак, x2−5x − 24 = (x − 8) (x + 2).

Следовательно, x2y2−5xy2−24y2 = y2 (x − 8) (x + 2).

Пример 3:

Фактор, x4 + x2−30.

Здесь есть многочлен 4-го порядка.Подставляем x2 = X, чтобы получить эквивалентный квадратный многочлен X2 + X − 30.

Нам нужно найти два числа, сумма которых равна 1 и произведение которых равно −30, чтобы разложить на множители X2 + X − 30.

Среди пар факторов −30 два числа с суммой 1 — это −5 и 6.

Итак, X2 + X − 30 = (X − 5) (X + 6).

То есть x4 + x2−30 = (x2−5) (x2 + 6).

Вы можете использовать тождество a2 − b2 = (a + b) (a − b), чтобы уменьшить x2−5 как (x + 5) (x − 5).

Бином x2 + 6 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x4 + x2−30 = (x + 5) (x − 5) (x2 + 6).

Пример 4:

Разложите на множители многочлен x3−3×2 + 4x − 12.

Здесь ни один из вышеперечисленных способов не сработает!

Сгруппируйте первые 2 термина и последние 2 термина вместе.

x3−3×2 + 4x − 12 = (x3−3×2) + (4x − 12)

Здесь x2 является общим в первых 2 членах, а 4 — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(x3−3×2) + (4x − 12) = x2 (x − 3) +4 (x − 3)

Теперь вычтите множитель (x − 3).

x2 (x − 3) +4 (x − 3) = (x − 3) (x2 + 4)

Бином x2 + 4 неприводим; его нельзя разложить на реальные числа.

Следовательно, x3−3×2 + 4x − 12 = (x − 3) (x2 + 4).

Пример 5:

Разложите на множители многочлен 6×2 + 7xy + 2y2.

Нам нужно найти два числа, произведение которых равно произведению коэффициентов членов x2 и y2, а сумма равна коэффициенту среднего члена. То есть два числа, сумма которых равна 7 и произведение которых 6 умножает на 2 или 12.

Среди пар факторов, состоящих из 12, два числа с суммой 7 — это 4 и 3.

Запишите средний член трехчлена, используя числа.

6×2 + 7xy + 2y2 = 6×2 + 4xy + 3xy + 2y2

Теперь у нас есть что-то похожее на пример 4. Итак, сгруппируйте первые 2 члена и последние 2 термина вместе.

6×2 + 7xy + 2y2 = (6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2)

Здесь 2x является общим в первых 2 членах, а y — общим в последних 2 членах. Вынесите их за скобки!

(6×2 + 4xy) + (3xy + 2y2) = 2x (3x + 2y) + y (3x + 2y)

Теперь используйте свойство распределения.

2x (3x + 2y) + y (3x + 2y) = (3x + 2y) (2x + y)

Следовательно, 6×2 + 7xy + 2y2 = (3x + 2y) (2x + y).

См. Также факторизацию по группировке и неприводимые многочлены.

Факторинг

Чтобы разложить на множители разницу между двумя квадратами, (1) найдите квадратный корень из первого члена и квадратный корень из второго члена и (2) выразите свой ответ как произведение суммы величин из шага 1 умноженная на разницу этих количеств.

.

Чтобы разложить на множители многочлены, имеющие три члена вида ax ² + bx + c, (1) проверьте, можете ли вы разложить множители на множители (вычленить общие члены). Затем, если a = 1 (то есть первый член просто x ² ), используйте двойные круглые скобки и разложите первый член на множители. Поместите эти множители в скобки слева. Например,

( x ) ( x )

(2) Разложите последний член на множители и поместите множители в правые части круглых скобок.

Чтобы определиться со знаками чисел, сделайте следующее. Если знак последнего члена отрицательный , (1) найдите два числа (одно будет положительным числом, а другое — отрицательным числом), произведение которых является последним членом, а разница составляет , коэффициент (число перед) среднего члена и (2) дают большему из этих двух чисел знак среднего члена и напротив знака для другого множителя.

Если знак последнего члена — положительный, (1) найдите два числа (оба будут положительными или оба будут отрицательными), произведение которых является последним членом, а сумма которых является коэффициентом среднего члена и (2) дайте обоим факторам знак среднего члена.

Пример 3

Фактор x ² — 3 x — 10.

Сначала проверьте, можете ли вы мономиально множить (вычленять общие термины). Поскольку это невозможно, используйте двойные скобки и разложите первый член на множители следующим образом: ( x ) ( x ). Затем разложите последний член, 10, на 2 раза по 5 (5 должно принимать отрицательный знак, а 2 должно принимать положительный знак, потому что тогда они будут суммировать коэффициент среднего члена, который равен –3) и сложите соответствующие знаки, выезд

( x — 5) ( x + 2)

Умножение означает (внутренние члены) и крайних значений (внешние члены) для проверки.

Чтобы полностью проверить, умножьте множители вместе.

Пример 4

Фактор x ² + 8 x + 15.

( x + 3) ( x + 5)

Обратите внимание, что 3 × 5 = 15 и 3 + 5 = 8, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знаки обоих факторов — это +, знак среднего члена. Проверить,

Пример 5

Фактор x ² — 5 x — 14.

( x -7) ( x + 2)

Обратите внимание, что 7 × 2 = 14 и 7-2 = 5, коэффициент среднего члена. Также обратите внимание, что знак большего множителя 7 — -, а у другого множителя 2 — знак +. Проверить,

Если, однако, a ≠ 1 (то есть первый член имеет коэффициент, например, 4 x ² +5 x + 1), тогда потребуется дополнительный метод проб и ошибок.

Пример 6

Фактор 4 x ² +5 x + 1.

(2 x +) (2 x +) может подойти для первого семестра. Но когда единицы используются как множители для получения последнего члена (2 x + 1) (2 x + 1), средний член получается как 4 x вместо 5 x .

Поэтому попробуйте (4 x +) ( x +). Теперь использование единиц в качестве множителей для получения последних членов дает (4 x + 1) ( x + 1). Проверка на средний срок,

Следовательно, 4 x ² + 5 x + 1 = (4 x + 1) ( x + 1).

Пример 7

Фактор 4 a ² + 6 a + 2.

Вынос 2 листа

2 (2 а ² + 3 а + 1)

Теперь множим как обычно, давая

2 (2 a + 1) ( a + 1)

Проверить,

Пример 8

Фактор 5 x ³ + 6 x ² + x .

Разложение листа x

x (5 x ² + 6 x + 1)

Теперь множим как обычно, давая

x (5 x + 1) ( x + 1)

Проверить,

Пример 9

Фактор 5 + 7 b + 2 b ² (небольшой поворот).

(5 + 2 b ) (1 + b )

Проверить,

Обратите внимание, что (5 + b ) (1 + 2 b ) неверно, поскольку дает неправильный средний член.

Пример 10

Фактор x ² + 2 xy + y ² .

( x + y ) ( x + y )

Проверить,

Пример 11

Фактор 3 x ² — 48.

Вынос 3 листа

3 ( x ² — 16)

Но x ² — 16 — это разница между двумя квадратами, которую можно дополнительно разложить на ( x + 4) ( x — 4). Следовательно, при полном факторинге 3 x ² — 48 = 3 ( x + 4) ( x — 4).

Факторинг по группировке

Некоторые полиномы имеют биномиальные, трехчленные и другие полиномиальные множители.

Пример 12

Фактор x + 2 + xy + 2 y .

Поскольку мономиального множителя нет, вам следует попытаться переставить члены и поискать биномиальные множители.

x + 2 + xy + 2 y = x + xy + 2 + 2 y

Группировка дает

( x + xy ) + (2 + 2 y )

Теперь факторинг дает

x (1 + y ) + 2 (1 + y )

Использование распределительного свойства дает

( x + 2) (1 + y )

Вы можете переставить их по-другому, но все равно получите тот же факторинг.

Краткое изложение методов факторинга

Факторинг многочленов следует искать в следующем порядке.

1. Найдите наибольший общий фактор, если он существует.

2. Если есть два члена, ищите разницу в квадратных числах.

3. Если есть три члена, ищите шаблон, который применим к ax ² + bx + c .

4. Если имеется четыре или более термина, поищите какой-либо тип перегруппировки, который приведет к другому факторингу.

Примечание: Существуют многочлены, которые не могут быть факторизованы.

Пример 13

Фактор 2 x ² + 3 x + 5.

1. У этого многочлена нет общего множителя.

2. Этот многочлен не является разностью квадратных чисел.{2} + b x + c; a \ neq 0 \)

   • Шаг 1. Найдите произведение \ (a c \), то есть произведение коэффициентов при первом и последнем членах.
   • Шаг 2. {2} +7 x + 3 \).{2} +15 х-27 \)
     • Шаг 1. Произведение \ (a c = (2) (- 27) = — 54 \)
     • Шаг 2. Теперь нам нужно найти два целых числа, произведение которых равно — 54. Мы можем перечислить все возможности:

     \ [(- 1) (54), \ quad (-2) (27), \ quad (-3) (18), \ quad (-6) (9), \ nonumber \]

     \ [(1) (- 54), \ quad (2) (- 27), \ quad (3) (- 18), \ quad (6) (- 9) \ nonumber \]

     и вычислите сумму каждой пары. Только целые числа -3 и 18 дают в сумме 15.

     • Шаг 3. Мы можем переписать средний член \ (15 x = -3 x + 18 x \).{2} -11 х + 2: \)

       Шаг 1. Произведение \ (a c = (12) (2) = 24 \)

       Шаг 2. Нам нужно найти два целых числа, произведение которых равно 24, а сумма равна -11. Перечислим все пары множителей 24:

       .

       \ [(1) (24), \ quad (2) (12), \ quad (3) (8), \ quad (4) (6) \ nonumber \]

       \ [(- 1) (- 24), \ quad (-2) (- 12), \ quad (-3) (- 8), \ quad (-4) (- 6) \ nonumber \]

       У пары -3 и -8 будет сумма -11.

       Шаг 3. Перепишем средний член \ (- 11 x = (- 3 x) + (- 8 x) \).

       Шаг 4.{2} -3 х-24 \):

       Нам нужно найти два числа, произведение которых равно \ (a c = c = -24 \), а сумма равна -3. Число -24 можно разложить на множители:

       \ [(1) (- 24), \ quad (2) (- 12), \ quad (3) (- 8), \ quad (4) (- 6) \ nonumber \]

       \ [(- 1) (24), \ quad (-2) (12), \ quad (-3) (8), \ quad (-4) (6). \ Nonumber \]

       Поскольку ни одна из пар в списке не дает в сумме \ (- 3 \), трехчлен нельзя разложить на множители как произведение двух биномов. Это простой многочлен.

       Смешанный факторинг

       Итак, мы объяснили основные методы факторизации многочленов.Вот рекомендации, которым мы можем следовать, чтобы выбрать правильный метод для полного факторизации заданного многочлена.

       Рекомендации по полному разложению многочлена на множители

       • Шаг 1 . Если возможно, исключите GCF из всех терминов.
       • Шаг 2 . Подсчитайте количество членов многочлена: если многочлен состоит из двух членов, попробуйте формулу разности двух квадратов; если многочлен состоит из трех членов, попробуйте AC-метод; если многочлен состоит из четырех членов, попробуйте метод группировки.{2} -10 х + 3 \)

         Все, что нужно знать о лучших факторинговых компаниях — советник Forbes

         Факторинговые компании, выставляющие счета-фактуры, предъявляют другие требования к участникам, авансовые ставки и факторинговые сборы, чем их конкуренты. Более того, одни факторинговые компании предлагают договоры без права регресса, тогда как другие предлагают факторинг исключительно с регрессом. При выборе факторинговой компании учитывайте следующие факторы:

         Требования к финансированию

         Факторинг по счетам легче квалифицировать, чем традиционные формы финансирования, но предприятия все равно должны соответствовать определенным требованиям.И поскольку факторинговая компания принимает на себя риск неплатежа, факторинговые компании также озабочены кредитоспособностью клиентов компании.

         Вот некоторые общие требования, предъявляемые факторинговыми компаниями:

         • Компания зарегистрирована в США.
         • Компания продает предприятиям, а не напрямую потребителям
         • Ежемесячные продажи не менее 5000 долларов
         • Бизнес не имеет доступа к традиционному финансированию
         • Клиенты платежеспособны
         • У клиентов есть 30 дней или более для оплаты счетов, но не более 90 дней

         Чтобы иметь право на факторинг счетов и соответствовать вышеперечисленным требованиям, факторинговые компании часто требуют, чтобы компании представляли личные и коммерческие налоговые декларации за последние три года, финансовые отчеты за период от трех до пяти лет и отчеты о сроках погашения дебиторской и кредиторской задолженности.

         Предварительные ставки

         Ставка аванса — это процент неоплаченных счетов, которые факторинговая компания оплачивает предприятию авансом. Процент обычно колеблется от 70% до 95%, но для большинства предприятий колеблется в районе 80%. Факторы, такие как стабильность бизнеса, а также отрасль бизнеса и история транзакций, обычно определяют потенциальные ставки аванса.

         Например, строительный бизнес считается более рискованным, чем более традиционный бизнес, поэтому ставка аванса может быть ближе к 60%.Напротив, предприятия в транспортной отрасли считаются наименее рискованными, и ставки аванса могут достигать 97%.

         Факторные сборы

         Факторные сборы — иногда называемые дисконтными или факторинговыми ставками — это сборы, которые компании взимают с течением времени и до тех пор, пока счет не будет оплачен полностью. Эти сборы обычно варьируются от 0,50% до 5% и могут быть фиксированными или переменными. В случае фиксированных ставок факторная ставка остается неизменной до погашения счетов. При фиксированной ставке 3% с предприятия взимается ставка 3% от общей суммы счета, когда счет оплачивается, независимо от того, когда в течение срока он оплачивается.

         При использовании сборов с переменным фактором ставки увеличиваются вместе с тем, как долго клиент оплачивает счет. Например, ставка фактора может начинаться с 1%, увеличиваться до 2% на второй неделе и до 5% на третьей неделе. В качестве альтернативы ставка может начинаться с 2% и оставаться на этом уровне в течение первых 30 дней, после этого увеличиваясь с заданными приращениями.

         Соглашения о регрессе и без регресса

         Факторинговые соглашения могут быть с правом регресса или без права регресса, что определяет, что произойдет, если счет не будет оплачен.Если компания подписывает договор факторинга с правом регресса и счет не оплачивается, предприятие должно выкупить счет или обменять его на другой счет-фактуру такой же стоимости. Соглашения о регрессе снижают риск для факторинговых компаний, выставляющих счета, и встречаются чаще, особенно в отраслях с высоким уровнем риска, таких как строительство.

         В соответствии с соглашением об отказе от регресса факторинговая компания принимает на себя риск неплатежа, и компания не обязана выкупать какие-либо счета — даже те, которые не были оплачены. По этой причине договоры факторинга без права регресса обычно более дороги и предназначены для отраслей, которые представляют меньший риск для факторинговых компаний.

         Разложите многочлен или выражение на множители с помощью программы «Пошаговое решение задач по математике»

         Процесс факторизации необходим для упрощения многих алгебраических выражений и является полезным инструментом при решении уравнений более высокой степени. Фактически, процесс факторизации настолько важен, что очень мало алгебры, выходящей за рамки этого пункта, может быть достигнуто без понимания этого.

         В предыдущих главах подчеркивалось различие между терминами и факторами .Вы должны помнить, что члены складываются или вычитаются, а множители умножаются. Далее следуют три важных определения.

         Термины встречаются в указанной сумме или разнице. Факторы встречаются в указанном продукте.

         Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.

         Обратите внимание, что в этих примерах мы всегда должны рассматривать все выражение целиком. Факторы могут состоять из терминов, а термины могут содержать факторы, но фактор из должен соответствовать приведенному выше определению.

         Факторинг — это процесс преобразования выражения суммы или разности членов в произведение факторов.

         Обратите внимание, что в этом определении подразумевается, что значение выражения не изменяется — изменяется только его форма.

         УДАЛЕНИЕ ОБЩИХ ФАКТОРОВ

         ЗАДАЧИ

         По завершении этого раздела вы сможете:

         1. Определите, какие факторы являются общими для всех терминов в выражении.
         2. Фактор общие множители.

         В предыдущей главе мы умножили такое выражение, как 5 (2x + 1), чтобы получить 10x + 5. В общем, факторинг «отменит» умножение. Каждый член 10x + 5 имеет множитель 5, а 10x + 5 = 5 (2x + 1).

         Чтобы разложить выражение на множители путем удаления общих множителей, действуйте, как в примере 1.

         3x — наибольший общий делитель всех трех членов.

         Затем найдите факторы, общие для всех терминов, и найдите наибольший из них.Это самый общий фактор. В этом случае наибольший общий делитель равен 3x.

         Поставьте 3x перед круглыми скобками.

         Термины в круглых скобках находятся путем деления каждого члена исходного выражения на 3x.

         Обратите внимание, что это свойство распределения. Это процесс, обратный тому, что мы использовали до сих пор.

         Исходное выражение теперь преобразовано в факторизованную форму.Чтобы проверить факторинг, имейте в виду, что факторинг изменяет форму, но не значение выражения. Если ответ правильный, это должно быть правдой. Умножьте, чтобы убедиться, что это правда. Вторая проверка также необходима для факторинга — мы должны быть уверены, что выражение было полностью факторизовано. Другими словами, «Мы удалили все общие факторы? Можем ли мы использовать дополнительные факторы?»

         Если бы мы только удалили множитель «3» из 3x ² + 6xy + 9xy ² , ответ был бы

         3 (х ² + 2xy + 3xy ² ).

         Умножая для проверки, мы обнаруживаем, что ответ фактически совпадает с исходным выражением. Однако фактор x по-прежнему присутствует во всех терминах. Следовательно, выражение не учитывается полностью.

         Это выражение факторизовано, но не полностью.

         Чтобы факторинг был правильным, решение должно соответствовать двум критериям:

         1. Должна быть возможность умножить факторизованное выражение и получить исходное выражение.
         2. F Выражение должно быть полностью разложено на множителя.

         Пример 2 Фактор 12x ³ + 6x ² + 18x.

         Решение

         На этом этапе нет необходимости перечислять факторы каждого семестра. Вы должны уметь мысленно определить наиболее общий фактор. Хорошая процедура — думать об элементах по отдельности. Другими словами, не пытайтесь получить все общие множители сразу, а получите сначала число, а затем каждую задействованную букву.Например, 6 — множитель 12, 6 и 18, а x — множитель каждого члена. Следовательно, 12x ³ + 6x ² + 18x = 6x (2x ² + x + 3). Умножая, мы получаем оригинал и видим, что члены в круглых скобках не имеют другого общего множителя, поэтому мы знаем, что решение правильное.

         Скажите себе: «Каков наибольший общий делитель 12, 6 и 18?»

         Затем «Какой наибольший общий делитель x 3 , x 2 и x?»

         Помните, что это проверка, чтобы убедиться в правильности факторинга.

         Опять умножаем как чек.

         Снова найдите наибольший общий делитель чисел и каждой буквы отдельно.

         Если выражение не может быть разложено на множители, оно считается простым .

         Помните, что 1 всегда является множителем любого выражения.

         РАЗДЕЛЕНИЕ ПО ГРУППАМ

         ЗАДАЧИ

         По завершении этого раздела вы сможете:

         1. Факторные выражения, когда общий множитель включает более одного члена.
         2. Фактор по группировке.

         Расширение идей, представленных в предыдущем разделе, применяется к методу факторинга, который называется группировка .

         Прежде всего, мы должны отметить, что общий множитель не обязательно должен быть одним членом. Например, в выражении 2y (x + 3) + 5 (x + 3) есть два члена. Это 2y (x + 3) и 5 ​​(x + 3). В каждом из этих терминов есть множитель (x + 3), состоящий из членов. Этот множитель (x + 3) является общим множителем.

         Иногда, когда имеется четыре или более терминов, мы должны вставить один или два промежуточных шага, чтобы разложить их на множители.

         Решение

         Прежде всего отметьте, что не все четыре члена в выражении имеют общий множитель, но некоторые из них имеют. Например, мы можем умножить на 3 первые два члена, получив 3 (ax + 2y). Если мы вычленим a из оставшихся двух членов, мы получим a (ax + 2y). Выражение теперь 3 (ax + 2y) + a (ax + 2y), и у нас есть общий множитель (ax + 2y), и мы можем разложить на множители как (ax + 2y) (3 + a). Умножая (ax + 2y) (3 + a), мы получаем исходное выражение 3ax + 6y + a ² x + 2ay и видим, что факторизация верна.

         Это пример факторинга путем группировки , поскольку мы «сгруппировали» термины по два за раз.

         Умножьте (x — y) (a + 2) и посмотрите, получите ли вы исходное выражение. Опять умножаем как чек.

         Иногда термины необходимо сначала переставить, прежде чем можно будет выполнить факторинг по группировке.

         Пример 7 Фактор 3ax + 2y + 3ay + 2x.

         Решение

         Первые два члена не имеют общего множителя, но первое и третье члены имеют, поэтому мы изменим порядок членов, чтобы поместить третий член после первого.Всегда смотрите вперед, чтобы увидеть порядок, в котором можно расположить термины.

         Во всех случаях важно быть уверенным, что факторы, указанные в скобках, абсолютно одинаковы. Это может потребовать факторизации отрицательного числа или буквы.

         Помните, свойство коммутативности позволяет нам переставлять эти члены. Умножение как проверка.

         Пример 8 Фактор ax — ay — 2x + 2y.

         Решение

         Обратите внимание, что когда мы множим a из первых двух членов, мы получаем a (x — y).Глядя на последние два члена, мы видим, что разложение на множители +2 дает 2 (-x + y), а разложение на множители «-2» дает -2 (x — y). Мы хотим, чтобы члены в круглых скобках были (x — y), поэтому поступаем таким же образом.

         ФАКТОРИНГ ТРИНОМИНАЛА

         ЗАДАЧИ

         По завершении этого раздела вы сможете:

         1. Мысленно перемножьте два бинома.
         2. Разложите на множители трехчлена с коэффициентом первого члена, равным 1.
         3. Найдите множители любого факторизуемого трехчлена.

         Большое количество будущих проблем будет связано с факторизацией трехчленов как произведения двух биномов. В предыдущей главе вы узнали, как умножать многочлены. Теперь мы хотим рассмотреть частный случай умножения двух биномов и разработать образец для этого типа умножения.

         Поскольку этот тип умножения очень распространен, полезно иметь возможность найти ответ, не выполняя так много шагов. Давайте посмотрим на образец для этого.

         Из примера (2x + 3) (3x — 4) = 6x ² + x — 12, обратите внимание, что первый член ответа (6x ² ) был получен из произведения двух первых членов множителей. , то есть (2x) (3x).

         Также обратите внимание, что третий член (-12) произошел от произведения вторых членов множителей, то есть (+ 3) (-4).

         Теперь у нас есть следующая часть узора:

         Теперь, снова посмотрев на пример, мы видим, что средний член (+ x) получен из суммы двух произведений (2x) (-4) и (3) (3x).

         Теперь у нас есть четыре произведения для любых двух биномов:

         1. Первый семестр за первый семестр
         2. Внешние условия
         3. Внутренние условия
         4. Последний семестр к последнему семестру

         Эти продукты показаны этим шаблоном.

         Когда произведения внешних и внутренних терминов дают одинаковые термины, их можно комбинировать, и решение является трехчленом.

         Этот метод умножения двух биномов иногда называют методом FOIL. FOIL расшифровывается как «первый», «внешний», «внутренний», «последний». Это сокращенный метод умножения двух биномов, и его полезность станет очевидной, когда мы разложим на множители трехчлены.

         Вы должны запомнить этот образец.

         Опять же, возможно, вам поможет запоминание слова FOIL.

         Не только этот образец должен быть запомнен, но ученик должен также научиться переходить от проблемы к ответу без каких-либо письменных шагов.Этот умственный процесс умножения необходим, если мы хотим достичь мастерства в факторинге.

         Выполняя следующие упражнения, попытайтесь прийти к правильному ответу, не записывая ничего, кроме ответа. Чем больше вы будете практиковать этот процесс, тем лучше будете в факторинге.

         Теперь, когда мы установили образец умножения двух биномов, мы готовы разложить на множители трехчлены. Сначала мы рассмотрим факторизацию только тех трехчленов с коэффициентом первого члена, равным 1.

         Решение

         Поскольку это трехчлен и не имеет общего множителя, мы будем использовать шаблон умножения для разложения.

         Фактически мы будем работать в обратном порядке, как в предыдущем наборе упражнений.

         Сначала в скобках укажите проблему.

         Теперь мы хотим заполнить члены так, чтобы шаблон давал исходный трехчлен при умножении. Первый член прост, поскольку мы знаем, что (x) (x) = x ² .

         Помните, произведение первых двух членов двучлена дает первый член трехчлена.

         Теперь мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить средний член. Обратите внимание, что в каждом из следующих слов будут правильные первый и последний член.

         Только последний продукт имеет средний член 11x, и правильное решение —

         Этот метод факторинга называется методом проб и ошибок — по понятным причинам.

         Здесь могут быть полезны некоторые числовые факты из арифметики. Произведение двух нечетных чисел является нечетным. Произведение двух четных чисел является четным. Произведение четного и нечетного числа является четным. Сумма двух нечетных чисел четная. Сумма двух четных чисел четная. Сумма нечетного и четного числа нечетная. Следовательно, когда мы разлагаем на множители такое выражение, как x 2 + 11x + 24, мы знаем, что произведение двух последних членов в биномах должно быть 24, что является четным, и их сумма должна быть 11, что является нечетным. Таким образом, будут работать только нечетное и четное число. Нам даже не нужно пробовать такие комбинации, как 6 и 4, 2 и 12 и так далее.

         Решение

         Здесь проблема лишь немного в другом. Мы должны найти числа, которые умножаются, чтобы получить 24, и в то же время складывать, чтобы получить — 11. Вы всегда должны помнить об этой схеме. Последний член получается строго умножением, а средний член, в конечном итоге, получается из суммы. Зная, что произведение двух отрицательных чисел положительно, а сумма двух отрицательных чисел отрицательна, получаем

         Решение

         Здесь мы столкнулись с отрицательным числом для третьего члена, и это немного усложняет задачу.Поскольку -24 может быть только произведением положительного числа и отрицательного числа, и поскольку средний член должен происходить из суммы этих чисел, мы должны мыслить категориями разницы. Мы должны найти числа, произведение которых равно 24 и которые отличаются на 5. Кроме того, большее число должно быть отрицательным, потому что, когда мы складываем положительное и отрицательное число, ответ будет иметь знак большего. Учитывая все это, получаем

         Порядок коэффициентов несущественный. по коммутативному закону умножения.

         Следующие пункты помогут при факторизации трехчленов:

         1. Когда знак третьего члена положительный, оба знака в множителях должны быть одинаковыми — и они должны быть похожи на знак среднего члена.
         2. Когда знак последнего члена отрицательный, знаки в множителях должны быть разными, а знак большего члена должен быть подобен знаку среднего члена.

         В предыдущем упражнении коэффициент каждого из первых членов был равен 1.Когда коэффициент при первом члене не равен 1, проблема факторинга намного сложнее, потому что количество возможностей значительно увеличивается.

         Выполнив предыдущий набор упражнений, теперь вы готовы попробовать еще несколько сложных трехчленов.

         Обратите внимание, что существует двенадцать способов получить первый и последний члены, но только один имеет 17x в качестве среднего члена.

         Вы, конечно, можете попробовать каждый из них мысленно, вместо того, чтобы записывать их.

         Есть только один способ получить все три условия:

         В этом примере верна одна из двенадцати возможностей. Таким образом, метод проб и ошибок может занять очень много времени.

         Даже несмотря на то, что используемый метод представляет собой метод предположений, это должно быть «обоснованное предположение», в котором мы применяем все наши знания о числах и много упражняемся в мысленной арифметике. В предыдущем примере мы сразу отбросили бы многие комбинации.Поскольку мы ищем 17x как средний термин, мы не будем пытаться использовать те возможности, которые умножают 6 на 6, или 3 на 12, или 6 на 12, и так далее, поскольку эти произведения будут больше 17. Кроме того, поскольку 17 нечетное, мы знаем, что это сумма четного и нечетного числа. Все это помогает уменьшить количество возможностей попробовать.

         Сначала найдите числа, которые дают правильные первое и последнее члены трехчлена. Затем добавьте внешний и внутренний продукт, чтобы проверить правильность среднего срока.

         Решение

         Сначала мы должны проанализировать проблему.

         1. Последний член положительный, поэтому два одинаковых знака.
         2. Средний член отрицательный, поэтому оба знака будут отрицательными.
         3. Множители 6×2: x, 2x, 3x, 6x. Множители 15: 1, 3, 5, 15.
         4. Исключите как слишком большое произведение 15 с 2x, 3x или 6x. Попробуйте несколько разумных комбинаций.

         Это автоматически даст слишком большой средний член.

         Посмотрите, как сокращается количество возможностей.

         Решение

         Анализировать:

         1. Последний член отрицательный, поэтому не похож на знаки.
         2. Мы должны найти продукты, которые отличаются на 5 с большим отрицательным числом.
         3. Мы исключаем произведение 4х и 6 как вероятно слишком большое.
         4. Попробуйте несколько комбинаций.

         Помните, попробуйте мысленно различные возможные комбинации, которые являются разумными.Это процесс факторинга «методом проб и ошибок». Практикуясь, вы научитесь лучше справляться с этим процессом.

         (4x — 3) (x + 2): здесь средний член равен + 5x, что является правильным числом, но неправильным знаком. Будьте осторожны, чтобы не принимать это как решение, но поменяйте знаки так, чтобы более крупный продукт соответствовал знаку со средним условием.

         К тому времени, когда вы закончите следующий набор упражнений, вы почувствуете себя гораздо более комфортно при факторинге трехчлена.

         ОСОБЫЕ СЛУЧАИ ФАКТОРИНГА

         ЗАДАЧИ

         По завершении этого раздела вы сможете:

         1. Определите и разложите на множители двух полных квадратов.
         2. Определите и разложите на множители трехчлен полного квадрата.

         В этом разделе мы хотим изучить некоторые частные случаи факторинга, которые часто возникают в задачах. Если признать эти особые случаи, факторинг значительно упростится.

         Первый частный случай, который мы обсудим, — это разность двух полных квадратов .

         Напомним, что при умножении двух биномов на образец средний член получается из суммы двух произведений.

         Из нашего опыта работы с числами мы знаем, что сумма двух чисел равна нулю только в том случае, если два числа являются отрицательными по отношению друг к другу.

         Когда сумма двух чисел равна нулю, одно из чисел называется , аддитивно обратным другого. Например: (+ 3) + (-3) = 0, поэтому + 3 является аддитивным обратным значением -3, также -3 является аддитивным обратным значением +3.

         В каждом примере средний член равен нулю. Обратите внимание, что если два бинома умножаются, чтобы получить бином (средний член отсутствует), они должны быть в форме (a — b) (a + b).

         Правило можно записать как = (a — b) (a + b). Это форма, которую вы найдете наиболее полезной при факторинге.

         Чтение этого правила справа налево говорит нам, что если у нас есть проблема, которую нужно разложить на множители, и если она имеет форму, то множители будут (a — b) (a + b).

         Решение

         Здесь оба члена представляют собой полные квадраты, разделенные знаком минус.

         Особые случаи действительно упрощают факторинг, но не забывайте осознавать, что особый случай — это просто особенный случай. В этом случае оба члена должны быть полными квадратами, а знак должен быть отрицательным, отсюда «разница двух полных квадратов».

         Сумма двух квадратов не разложима.

         Вы также должны быть осторожны при распознавании идеальных квадратов.Помните, что точные квадратные числа — это числа, у которых квадратные корни являются целыми числами. Кроме того, показатели абсолютного квадрата четны.

         Студенты часто упускают из виду тот факт, что (1) — это идеальный квадрат. Таким образом, такое выражение, как x 2 — 1, представляет собой разность двух полных квадратов и может быть разложено на множители этим методом.

         Другой частный случай факторизации — это трехчлен полного квадрата. Обратите внимание, что возведение бинома в квадрат приводит к этому случаю.

         Мы признаем этот случай по его особенностям. Очевидны три вещи.

         1. Первый член представляет собой полный квадрат.
         2. Третий член представляет собой полный квадрат.
         3. Средний член — это дважды произведение квадратного корня из первого и третьего членов.

         Для целей факторинга более полезно записать отчет как

         Решение

         1. 25x ² — это полный квадратный корень с главным квадратным корнем = 5x.
         2. 4 — это полный квадратный корень из главного квадрата = 2.
         3. 20x — это дважды произведение квадратных корней 25x ² и
         4. 20x = 2 (5x) (2).

         Чтобы разложить на множители полный квадрат трехчлена , сформируйте бином с квадратным корнем из первого члена, квадратным корнем из последнего члена и знаком среднего члена и укажите квадрат этого бинома.

         Таким образом, 25x ² + 20x + 4 = (5x + 2) ²

         Всегда возводите двучлен в квадрат для проверки правильности среднего члена.

         Не частный случай трехчлена полного квадрата.

         ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ЯРЛЫКИ ДЛЯ ИСПЫТАНИЙ И УСТАНОВЛЕНИЕ ОШИБОК

         ЗАДАЧИ

         По завершении этого раздела вы сможете:

         1. Найдите ключевое число трехчлена.
         2. Используйте ключевое число для разложения трехчлена на множители.

         В этом разделе мы хотим обсудить несколько сокращений для факторинга методом проб и ошибок. Это необязательно по двум причинам. Во-первых, некоторые могут предпочесть пропустить эти методы и просто использовать метод проб и ошибок; во-вторых, эти ярлыки не всегда практичны для большого количества людей.Однако они повысят скорость и точность для тех, кто их освоит.

         Первым шагом в использовании этих ярлыков является поиск ключевого номера . После того, как вы нашли ключевой номер, его можно использовать более чем одним способом.

         В трехчлене, подлежащем разложению, ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов.

         Произведение этих двух чисел и есть «ключевой номер».

         Первое использование ключевого числа показано в примере 3.

         Решение
         Шаг 1 Найдите ключевой номер. В этом примере (4) (- 10) = -40.
         Шаг 2 Найдите множители ключевого числа (-40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+ 3). В этом случае (+ 8) (-5) = -40 и (+ 8) + (-5) = +3.
         Шаг 3 Коэффициенты (+ 8) и (- 5) будут перекрестными произведениями в шаблоне умножения.
         
         

         Произведение этих двух чисел является ключевым числом.»

         
         Шаг 4 Используя только внешнее перекрестное произведение, найдите множители первого и третьего членов, которые будут умножаться, чтобы получить произведение. В этом примере мы должны найти множители 4×2 и -10, которые будут умножаться, чтобы дать + 8x. Это 4x от 4×2 и (+ 2) от (-10).
         Поместите эти множители в первую и последнюю позиции в шаблоне
         
         

         Есть только один способ сделать это правильно.

         
         Шаг 5 Забудьте на этом этапе номер ключа и посмотрите на исходную проблему.Поскольку первая и последняя позиции заполнены правильно, теперь необходимо заполнить только две другие позиции.
         
         

         Опять же, это можно сделать только одним способом.

         
         Мы знаем, что произведение двух первых членов должно давать 4x ² и 4x уже на месте. Нет другого выбора, кроме x.
         
         

         Обратите внимание, что на шаге 4 мы могли бы начать с внутреннего продукта вместо внешнего продукта. Мы получили бы те же множители.Самое главное — иметь систематический процесс факторинга.

         
         Мы знаем, что произведение двух вторых членов должно быть (-10), а (+2) уже на месте. У нас нет другого выбора, кроме (- 5).
         

         Помните, что если трехчлен факторизуем, существует только один возможный набор факторов.

         Если не удается найти множители ключевого числа, сумма которых является коэффициентом средних членов, то трехчлен является простым и не множится.

         Второе использование номера ключа в качестве ярлыка включает факторинг по группировке. Работает как в примере 5.

         Решение
         Шаг 1 Найдите номер ключа (4) (- 10) = -40.
         Шаг 2 Найдите множители (- 40), которые складываются, чтобы получить коэффициент среднего члена (+3).
         

         Шаги 1 и 2 в этом методе такие же, как и в предыдущем методе.

         
         Шаг 3 Перепишите исходную задачу, разбив средний член на две части, найденные на шаге 2.8x — 5x = 3x, поэтому мы можем написать
         
         Step 4 Разложите эту задачу на множители, начиная с шага 3, с помощью метода группировки, изученного в разделе 8-2
         
         

         Теперь это становится обычным факторингом путем группировки.

         
         Следовательно,
         

         Опять же, есть только одна возможная пара множителей, которая может быть получена из данного трехчлена.

         Помните, что если шаг 2 невозможен, трехчлен является простым и не может быть разложен на множители.

         ПОЛНАЯ ФАКТОРИЗАЦИЯ

         ЗАДАЧИ

         По завершении этого раздела вы сможете разложить на множители трехчлен, выполнив следующие два шага:

         1. Первый взгляд на общие факторы.
         2. Разложите оставшийся трехчлен на множители, применяя методы этой главы.

         Теперь мы изучили все обычные методы факторизации в элементарной алгебре. Однако вы должны знать, что для решения одной проблемы может потребоваться более одного из этих методов.Помните, что есть две проверки правильности факторинга.

         1. Умножатся ли множители, чтобы получить исходную задачу?
         2. Все ли множители просты?

         После того, как общий множитель был найден, вы должны проверить, можно ли разложить полученный трехчлен на факторизацию.

         Если у трехчлена есть общие множители, обычно проще, если они сначала разложены на множители.

         Хорошая процедура, которой следует придерживаться при факторинге, — всегда сначала удалять наибольший общий множитель, а затем, если возможно, разложить на множители то, что осталось.

         РЕЗЮМЕ

         Ключевые слова

         • Выражение в факторизованной форме только в том случае, если все выражение является указанным продуктом.
         • Факторинг — это процесс, который изменяет сумму или разность условий на произведение факторов.
         • Простое выражение не может быть разложено на множители.
         • Наибольший общий множитель — наибольший общий множитель для всех терминов.
         • Выражение полностью разложено на множители , когда дальнейшее разложение на множители невозможно.
         • Возможность факторизации путем группировки существует, когда выражение содержит четыре или более терминов.
         • Метод FOIL можно использовать для умножения двух биномов.
         • Частные случаи факторинга включают разность двух квадратов и трехчленов полного квадрата .
         • Ключевое число является произведением коэффициентов первого и третьего членов трехчлена.

           No related posts.