Линейный метод это: Когда и как применять линейный способ начисления амортизации

Содержание

Методы амортизации для основных средств — Business Central

  • Статья
  • Чтение занимает 9 мин
  • 1 contributor

Были ли сведения на этой странице полезными?

Да Нет

Хотите оставить дополнительный отзыв?

Отзывы будут отправляться в корпорацию Майкрософт.

Нажав кнопку «Отправить», вы разрешаете использовать свой отзыв для улучшения продуктов и служб Майкрософт. Политика конфиденциальности.

Отправить

В этой статье

По умолчанию доступно восемь методов амортизации в версии Business Central:

  • SL

  • DB 1

  • DB 2

  • DB1/SL

  • DB2/SL

  • Пользовательский

  • Ручной

    Примечание

    Этот метод можно использовать для основных средств, которые не являются объектом амортизации, например земли. Необходимо ввести амортизацию в журнале ГК основных средств. Пакетное задание

    Расчет амортизации пропускает основные средства при использовании этого метода амортизации.

  • Начисление полугодовой нормы износа

    Примечание

    При использовании этого метода основное средство амортизируется на одну и ту же сумму каждый год.

Линейная амортизация

При использовании линейного метода необходимо определить один из следующих параметров книги амортизации основных средств:

  • Период амортизации (годы и месяцы) или дата конца амортизации
  • Фиксированный ежегодный процент
  • Фиксированная ежегодная сумма
  • Период амортизации

Период амортизации

При указании периода амортизации (число лет, месяцев или даты окончания амортизации) используется следующая формула для вычисления суммы амортизации:

Сумма амортизации = ((учетная стоимость — ликвидационная стоимость) x число дней амортизации) / оставшиеся дни амортизации

Оставшиеся дни амортизации рассчитываются как число дней амортизации минус число дней между датой начала амортизации и последней датой операции основного средства.

Учетная стоимость может быть снижена по учтенному повышению стоимости, понижению стоимости, суммам метода 1 и метода 2, в зависимости от того, установлен ли флажок напротив поля Включать в расчет амортизации или снят флажок Часть балансовой стоимости на странице Настройка типа учета ОС. Этот расчет обеспечивает полную амортизацию средства к моменту окончания амортизации.

Фиксированный годовой процент

При указании фиксированного годового процента приложение будет использовать следующую формулу для расчета суммы амортизации:

Сумма амортизации = (Линейный (%) x базис амортизации x число дней амортизации) / (100 x 360)

Фиксированная ежегодная сумма

При указании фиксированной ежегодной суммы приложение будет использовать следующую формулу для расчета суммы амортизации:

Сумма амортизации = (фиксированная сумма амортизации x число дней амортизации)/360

Пример — линейная амортизация

Основное средство имеет стоимость 100 000 МВ. Оценочный срок службы — восемь лет. Пакетное задание Расчет амортизации выполняется дважды в год.

Для данного примера операция книги основных средств выглядит следующим образом:

ДатаТип учета ОСДниСуммаБалансовая стоимость
01-01-20Стоимость приобретения(Дата начала амортизации)100,000. 00100,000.00
06-30-20Амортизация180-6 250,0093,750.00
12-31-20Амортизация180-6 250,0087,500.00
06-30-21Амортизация180-6 250,0081,250.00
12-31-21Амортизация180-6 250,0075,000.00
06-30-27Амортизация180-6 250,006,250.00
12-31-27Амортизация180-6 250,000

Амортизация с уменьшаемым остатком DB 1

Это метод ускоренной амортизации, с помощью которого самая большая часть себестоимости актива распределяется на первые годы срока полезного использования. При использовании этого метода необходимо указать фиксированный ежегодный процент.

Формула для расчета сумм амортизации:

Сумма амортизации = (уменьшаемый остаток % x число дней амортизации x базис амортизации) / (100 x 360)

Базис амортизации рассчитывается как балансовая стоимость минус учтенная амортизация с момента начала текущего финансового года.

Учтенная сумма амортизации может содержать операции с различными типами учета (понижение стоимости, метод 1 и метод 2), учтенными с начальной даты текущего финансового года. Эти типы учета включаются в сумму учтенной амортизации, если на странице Настройки типа ОС учета установлены флажки напротив полей Тип амортизации и Часть балансовой стоимости.

Пример — амортизация DB 1

Основное средство имеет стоимость 100 000 МВ. В поле Уменьш. остатка, % задано значение 25. Пакетное задание Расчет амортизации выполняется дважды в год.

В следующей таблице показано, как выглядят операции книги основных средств.

ДатаТип учета ОСДниСуммаБалансовая стоимость
01-01-20Стоимости приобретения(Дата начала амортизации)100,000.00100,000.00
06-30-20Амортизация180-12 500,0087,500. 00
12-31-20Амортизация180-12 500,0075,000.00
06-30-21Амортизация180-9 375,0065,625.00
12-31-21Амортизация180-9 375,0056,250.00
06-30-22Амортизация180-7 031,2549,218.75
12-31-22Амортизация180-7 031,2542,187.50
06-30-23Амортизация180-5 273,4436,914.06
12-31-23Амортизация180-5 273,4431,640.62
06-30-24Амортизация180-3 955,0827,685.54
12-31-24Амортизация180-3 955,0823,730.46

Метод расчета:

  • Год 1: 25% от 100 000 = 25 000 = 12 500 + 12 500

  • Год 2: 25% от 75 000 = 18 750 = 9375 + 9375

  • Год 3: 25% от 56 250 = 14 062,50 = 7031,25 + 7031,25

Расчет выполняется до тех пор, пока учетная стоимость не станет равной окончательной сумме округления или введенной ликвидационной стоимости.

Амортизация с уменьшаемым остатком DB 2

С помощью методов уменьшаемого остатка 1 и 2 вычисляются общие одинаковые суммы амортизации на каждый год. Однако, если пакетное задание Расчет амортизации выполняется чаще одного раза в год, использование метода уменьшаемого остатка 1 дает равные суммы амортизации для каждого периода амортизации. Использование метода уменьшаемого остатка 2 дает в результате суммы амортизации, которые уменьшаются с каждым периодом.

Пример. Амортизация методом уменьшаемого остатка 2

Основное средство имеет стоимость 100 000 МВ. В поле Уменьш. остатка, % задано значение 25. Пакетное задание Расчет амортизации выполняется дважды в год. Операции книги основных средств выглядят следующим образом:

ДатаТип учета ОСДниСуммаБалансовая стоимость
01-01-20Стоимости приобретения(Дата начала амортизации)100,000.
00
100,000.00
06-30-20Амортизация180-13 397,4686,602.54
12-31-20Амортизация180-11 602,5475,000.00
06-30-21Амортизация180-10 048,0964,951.91
12-31-21Амортизация180-8 701,9156,250.00

Метод расчета:

  • BV = Учетная стоимость
  • ND = число дней амортизации
  • DBP = процент уменьшаемого остатка
  • P = DBP/100
  • D = ND/360

Формула для расчета амортизационных отчислений:

DA = BV x (1 – (1 –P)D)

Значениями амортизации являются:

ДатаРасчет
06-30-20DA = 100 000,00 x (1 -(1 — 0,25)0,5) = 13 397,46
12-31-20DA = 86 602,54 x (1 — (1 — 0,25)0,5) = 11 602,54
06-30-21DA = 75 000,00 x (1 — (1 — 0,25)0,5) = 10 048,09
12-31-21DA = 64 951,91 x (1 — (1 — 0,25)0,5) = 8 701,91

Амортизация DB1/SL

DB1/SL — это сокращение, обозначающее сочетание уменьшаемого остатка 1 и линейного. Расчет выполняется до тех пор, пока учетная стоимость не станет равной окончательной сумме округления или введенной ликвидационной стоимости.

С помощью пакетного задания Расчет амортизации вычисляется сумма амортизации линейным методом и методом уменьшаемого остатка, но в журнал переносится только большая из этих сумм.

Можно использовать различные проценты для расчета уменьшаемого остатка.

При использовании данного метода необходимо указать предполагаемый срок полезного использования и процент уменьшающегося остатка на странице Книга амортизации ОС.

Пример. Амортизация DB1-SL

Основное средство имеет стоимость 100 000 МВ. На странице ОС — книги амортизации, в поле Уменьш. остатка, %, задано значение 25, а в поле Число лет амортизации задано значение 8. Пакетное задание Расчет амортизации выполняется дважды в год.

Операции книги основных средств выглядят следующим образом:

ДатаТип учета ОСДниСуммаБалансовая стоимость
01-01-20Стоимости приобретения(Дата начала амортизации)100,000. 00100,000.00
06-30-20Амортизация180-12 500,0087,500.00
12-31-20Амортизация180-12 500,0075,000.00
06-30-21Амортизация180-9 375,0065,625.00
12-31-21Амортизация180-9 375,0056,250.00
06-30-22Амортизация180-7 031,2549,218.75
12-31-22Амортизация180-7 031,2542,187.50
06-30-23Амортизация180-5 273,4436,914.06
12-31-23Амортизация180-5 273,4431,640.62
06-30-24Амортизация180-3 955,0827,685.54
12-31-24Амортизация180-3 955,0823,730. 46
06-30-25Амортизация180-3 955,0819 775,38 SL
12-31-25Амортизация180-3 955,0815 820,30 SL
06-30-26Амортизация180-3 955,0811 865,22 SL
12-31-26Амортизация180-3 955,077 910,15 SL
06-30-27Амортизация180-3 955,083 955,07 SL
12-31-27Амортизация180-3 955,070,00 SL

SL после значения учетной стоимости означает, что был использован линейный метод.

Метод расчета:

  • Год 1 (2020):

    Сумма уменьшаемого остатка: 25% от 100 000 = 25 000 = 12 500+12 500

    Сумма SL = 100 000/8=12 500= 6 250+6 250

    Используется сумма уменьшаемого остатка, поскольку она является более высокой.

  • Год 5 (2025):

    Сумма уменьшаемого остатка: 25% от 23 730,46 = 4 943,85= 2 471,92+2 471,92

    Сумма SL = 23 730,46/3 = 7 910,15=3 995,07+3 995,08

    Используется линейная (SL) сумма, поскольку она является более высокой.

Амортизация с полугодовой нормой износа

Метод амортизации путем начисления полугодовой нормы износа будет применяться только, если установлен флажок в поле Использ. начисл. полугод. нормы износа на фиксированной странице Книга амортизации ОС.

Этот метод амортизации можно использовать в сочетании со следующими методами амортизации в приложении:

При применении полугодового соглашения основное средство имеет шестимесячную амортизацию в первый финансовый год вне зависимости от содержимого поля Дата начала амортизации.

Примечание

При использовании метода полугодового соглашения оценочное время жизни основного средства, оставшееся после первого финансового года, всегда включает в себя полгода. Поэтому для правильного применения метода полугодового соглашения в поле Дата окончания амортизации на странице Книга амортизации ОС всегда должна быть указана дата, после которой остается ровно шесть месяцев до конечной даты финансового года, когда основное средство становится полностью амортизированным.

Пример. Амортизация с полугодовой нормой износа

Основное средство имеет стоимость 100 000 МВ. Дата в поле Дата начала амортизации — 01.03.20. Оценочный срок службы составляет пять лет, таким образом, Дата окончания амортизации должна быть 30.06.25. Таким образом, Дата окончания амортизации должна быть. Этот пример основан на календарном финансовом году.

Операции книги основных средств выглядят следующим образом:

ДатаТип учета ОСДниСуммаБалансовая стоимость
03-01-20Стоимость приобретения(Дата начала амортизации)100,000. 00100,000.00
12-31-20Амортизация270-10 000,0090,000.00
12-31-21Амортизация360-20 000,0070,000.00
12-31-22Амортизация360-20 000,0050,000.00
12-31-23Амортизация360-20 000,0030,000.00
12-31-24Амортизация360-20 000,0010,000.00
12-31-25Амортизация180-10 000,000.00

Пример. Амортизация DB1/SL с использованием полугодовой нормы износа

Основное средство имеет стоимость 100 000 МВ. Дата в поле Дата начала амортизации — 01.11.20. Оценочный срок службы составляет пять лет, таким образом, Дата окончания амортизации должна быть 30.06.25. На странице Книга амортизации ОС поле Уменьш. остатка, % содержит значение 40. Таким образом, Дата окончания амортизации должна быть 30.06.05. Этот пример основан на календарном финансовом году.

Операции книги основных средств выглядят следующим образом:

ДатаТип учета ОСДниСуммаБалансовая стоимость
11-01-20Стоимость приобретения(Дата начала амортизации)100,000.00100,000.00
12-31-20Амортизация60-20 000,0080,000.00
12-31-21Амортизация360-32 000,0048,000.00
12-31-22Амортизация360-19 200,0028,800.00
12-31-23Амортизация360-11 520,0017,280.00
12-31-24Амортизация360-11 520,005 760,00 SL
12-31-25Амортизация180-5 760,000,00 SL

SL после значения учетной стоимости означает, что был использован линейный метод.

Метод расчета:

  • Год 1:

    Сумма уменьшаемого остатка = Полная годовая сумма = 40% от 100 000 = 40 000. Таким образом, за полугодие 40 000 / 2 = 20 000

    Сумма SL = Полная годовая сумма = 100 000 / 5 = 20 000. Таким образом, за полугодие = 20 000 / 2 = 10 000

    Используется сумма уменьшаемого остатка, поскольку она является более высокой.

  • Год 5 (2024):

    Сумма уменьшаемого остатка = 40% от 17 280,00 = 6 912,00

    Сумма SL = 28 800 / 1,5 = 11 520,00

    Используется линейная (SL) сумма, поскольку она является более высокой.

Дублирование операций в дополнительные книги амортизации

При наличии трех книг амортизации B1, B2 и B3 и необходимости копирования операций из B1 в B2 и B3 можно установить флажок в поле Часть списка дубликатов в карточках книг амортизации B2 и B3. Это может быть полезно, если книга B1 объединена с главной книгой и использует журнал ГК финансового учета основных средств, а книги амортизации B2 и B3 не объединены с главной книгой и используют журнал основных средств.

Если при вводе операции в книге B1 журнала ГК учета основных средств установлен флажок в поле Использ. список дублирования, программа копирует операцию в книги B2 и B3 журнала основных средств после учета операции.

Примечание

Невозможно дублировать операцию одновременно в журнал и раздел журнала, из которого производится дублирование. Если бухгалтерские операции учитываются в журнале ГК учета основных средств, то их можно дублировать в другом разделе журнала основных средств или журнала финансового учета.

Примечание

Невозможно использовать одну и ту же серию номеров в журнале ГК основных средств и в журнале основных средств. При учете операций в ГК журнала ОС необходимо оставить поле Номер документа незаполненным. При вводе номера в поле номер дублируется в журнале основных средств. Необходимо вручную изменить номер документа перед учетом журнала.

См. также

Основные Средства
Настройка основных средств
Финансы
Подготовьтесь к ведению бизнеса
Работа с Business Central

Линейный метод начисления — Энциклопедия по экономике

Ст. 259, п. 3 Линейный метод начисления амортизации применяется к зданиям, сооружениям, передаточным устройствам, входящим в 8-10 группы, независимо от сроков ввода в эксплуатацию этих объектов. П. 18 Может применяться любой из вышеперечисленных способов начисления амортизации  [c.346]

Такой способ расчета возможен при линейном методе начисления амортизации, т. е. равномерном списании износа за весь период наличия на предприятии основных производственных средств. Это следует учитывать, если оно применяет ускоренный или какой-либо иной способ начисления амортизации. В отечественной практике в настоящее время в основном применяется линейная амортизация. Разрешены также способ уменьшаемого остатка списания стоимости по сумме чисел лет срока полезного использования и способ списания стоимости пропорционально объему продукции. В каждой ситуации подбор формулы расчета влияния основных производственных фондов на результаты деятельности предприятия будет иметь свою специфику.  [c.148]

Подготовьте бухгалтерские записи на конец года, отражающие следующие операции, осуществленные компанией НаШ , при условии, что компания следует линейному методу начисления амортизации.  [c.132]

Закона РФ № 164-ФЗ от 29.10.1998 г. О лизинге , который позволяет сторонам договора лизинга по взаимному соглашению применять ускоренную амортизацию предметов лизинга, используя при этом равномерный (линейный) метод начисления, в соответствии с которым утвержденная в установленном порядке норма  [c.111]

При этом выбор ограничивается законодательно необходимостью применять линейный метод начисления амортизации к зданиям, сооружениям, передаточным устройствам, входящим в восьмую — десятую амортизационные группы, независимо от сроков ввода в эксплуатацию этих объектов (п.З ст.259 НК РФ).  [c.113]

Организация, приобретающая объекты основных средств, бывшие в употреблении (в случае, если по такому имуществу принято решение о применении линейного метода начисления амортизации), вправе определять норму амортизации по этому имуществу с учетом срока полезного использования, уменьшенного на количество лет (месяцев) эксплуатации данного имущества предыдущими собственниками .  [c.116]

Предприятия применяют линейный метод начисления амортизации к зданиям, сооружениям, передаточным устройствам. К остальным основным средствам они вправе применять один из указанных выше двух методов амортизации на весь период ее начисления по объекту амортизируемого имущества. Начисление амортизации в отношении объекта амортизируемого имущества осуществляется в соответствии с нормой амортизации, определенной для данного объекта исходя из его срока полезного использования.  [c.123]

Величину амортизационных отчислений по лесосечному оборудованию рассчитываем в табл. 4.10 с применением линейного метода начисления амортизации. Остальные затраты принимаем по данным предприятия.  [c.29]

Изменение платежей по налогу на имущество (А Ним) после проведения переоценки при линейном методе начисления амортизации по одному объекту основных средств равно  [c.173]

По сравнению с равномерным (линейным) методом начисления регрессивная амортизация позволяет преодолеть инерционность и неопределенность перспективных сроков службы, в частности, лучше учесть моральный износ техники.  [c.71]

Амортизационные отчисления формируются на основе требований статьи 259 главы 25 линейным и нелинейным методом. Линейный метод начисления амортизации применяется по зданиям, сооружениям, передаточным устройствам со сроком полезного использования свыше 20 лет. По остальным основным средствам могут применяться как линейный, так и нелинейный метод начисления амортизации (например метод уменьшаемого остатка). . .  [c.46]

Исключение составляют здания, сооружения, передаточные устройства, входящие в восьмую — десятую амортизационные группы, к которым применяется исключительно линейный метод начисления амортизации.  [c.141]

Организация, приобретающая объекты основных средств, бывшие в употреблении (в случае, если по такому имуществу принято решение о применении линейного метода начисления амортизации), вправе определять норму амортизации по этому имуществу с учетом срока полезного использования, уменьшенного на количество лет (месяцев) эксплуатации данного имущества предыдущими собственниками. При этом остаточная стоимость амортизируемого имущества определяется как разность между первоначальной (восстановительной) стоимостью и суммой начисленной за период эксплуатации амортизации.  [c.142]

В целях налогообложения амортизируемое имущество объединяется в десять групп в зависимости от сроков полезного использования (ст. 258 НК РФ). К зданиям, сооружениям, передаточным устройствам срок полезного использования которых 20 лет и выше, применяется линейный метод начисления амортизации. К остальным объектам основных фондов в налоговых целях коммерческая организация имеет право выбора метода начисления амортизации между линейным и нелинейным. В отношении отдельных объектов амортизируемого имущества могут применяться поправочные коэффициенты (2-3) (ст. 259 НК РФ).  [c.180]

ЛИНЕЙНЫЙ МЕТОД НАЧИСЛЕНИЯ АМОРТИЗАЦИИ  [c.192]

При введении ускоренной амортизации организации применяли равномерный (пропорциональный, линейный) метод начисления при этом годовая норма амортизационных отчислений увеличивалась не более чем двя раза.  [c.491]

При реализации первого проекта предприятие намерено приобрести технологическое оборудование, срок полезного использования которого равен 5 годам, и проводить амортизационные отчисления методом суммы чисел лет срока полезного использования. При осуществлении второго инвестиционного проекта предполагается придерживаться линейного метода начисления амортизации (срок использования оборудования второго проекта также равен пяти годам). Определите, какой проект для предприятия предпочтительнее, используя показатели срок окупаемости, чистый дисконтированный доход, коэффициент чистой текущей стоимости, индекс доходности,  [c.196]

Сумму амортизации в целях налогообложения налогоплательщики рассчитывают ежемесячно отдельно по каждому объекту амортизационного имущества. Налогоплательщик применяет линейный метод начисления к зданиям, сооружениям, передаточным устройствам, входящим в восьмую-десятую амортизационные группы, независимо от срока ввода в эксплуатацию этих объектов. К остальным основным средствам налогоплательщик вправе применять как традиционный линейный, так и нелинейный методы.  [c.52]

По решению руководителя предприятия, закрепленному в учетной политике, для целей налогообложения разрешено начислять амортизацию по пониженным нормам. Использование пониженных норм допускается только с начала и в течение всего налогового периода. При продаже амортизируемого имущества налогоплательщиком, использующим пониженные нормы амортизации, перерасчет налоговой базы на сумму недоначисленной амортизации против установленных норм не производят. Предприятие, приобретающее объекты основных средств, бывшие в употреблении (если по такому имуществу принято решение о применении линейного метода начисления амортизации), вправе определять норму амортизации по данному имуществу с учетом срока полезного использования, пониженного на количество лет (месяцев) эксплуатации данного имущества прежними собственниками.  [c.54]

Линейный метод начисления амортизации применяют по зданиям, сооружениям, передаточным устройствам, входящим в восьмую—десятую группы амортизируемого имущества. К остальному амортизируемому имуществу организация вправе применять любой из двух указанных методов начисления амортизации.  [c.77]

N,- средняя норма амортизации основных фондов в добыче нефти и газа (при линейном методе начисления)  [c.167]

Линейный метод начисления применяется к зданиям, сооружениям, передаточным устройствам, входящим в 8—10 амортизационные группы независимо от срока ввода в эксплуатацию этих объектов, а также к имуществу, приобретенному до введения 25 главы НК РФ. К остальным основным средствам налогоплательщик вправе применять и линейные, и нелинейные методы  [c.548]

Линейный метод начисления амортизации предполагает равномерное начисление амортизации в течение всего срока полезного использования имущества. В соответствии с ним месячная сумма амортизации рассчитывается по формуле  [c.241]

Линейный способ начисления амортизации — в целях бухгалтерского учета. Линейный метод начисления амортизации — в целях налогообложения.  [c. 248]

В целях налогообложения предусмотрены два метода начисления амортизации линейный и нелинейный. Причем только линейный метод начисления амортизации применяется по зданиям, сооружениям, передаточным устройствам, входящим в амортизационные группы 8—10, независимо от сроков ввода в эксплуатацию этих объектов. В других случаях налогоплательщик самостоятельно выбирает тот или иной амортизационный метод. Причем выбранный метод начисления амортизации не может быть изменен в течение всего периода начисления амортизации по объекту амортизируемого имущества.  [c.90]

A) линейный метод начисления амортизации Б) нелинейный метод начисления амортизации  [c.303]

Изложите содержание линейного метода начисления амортизации.  [c.68]

Как видно, при стремлении организации сблизить бухгалтерский и налоговый учет только первый пункт находится за пределами ее возможностей. Что касается двух других пунктов, то принятие линейного метода начисления амортизации и единого срока полезного использования на основании Классификации объектов основных средств позволяет полностью унифицировать данные бухгалтерского и налогового учета (в случае совпадения первоначальной стоимости объектов).  [c.69]

Большинство предприятий для целей бухгалтерского учета применяют линейный метод начисления амортизации.  [c.120]

Если организация решила применить для бухгалтерского учета и для расчета налога на прибыль линейный метод начисления амортизации, то суммы амортизационных отчислений по основным фондам будут совпадать и организации не потребуется проводить два расчета. В остальных случаях амортизационные отчисления придется ежемесячно рассчитывать дважды, причем суммы отчислений за тот или иной месяц будут различны. Такая ситуация наблюдается даже в том случае, если организация для бухгалтерского учета применяет метод уменьшаемого остатка, а для расчета налога на прибыль — нелинейный метод (по сути, это метод уменьшаемого остатка) с одинаковым коэффициентом ускорения, равным 2.  [c.125]

По сравнению с равномерным (линейным) методом начисления регрессивная амортизация позволяет преодолеть инерционность и неопределенность перспективных сроков полезного использования, в частности, лучше учесть моральный износ техники. Надо также учитывать, что при замене техники до окончания амортизационного периода при ускоренной амортизации по сравнению с линейным методом относительно уменьшается недоамортизированная (невозмещенная) часть стоимости заменяемого оборудования это стимулирует досрочное обновление и повышает эффективность капиталовложений в новую технику.  [c.326]

В учетной политике необходимо указать, будете ли вы применять ускоряющие или понижающие коэффициенты амортизации. С целью сближения налогового и бухгалтерского учета необходимо выбрать линейный метод начисления амортизации  [c.113]

что это и как она считается, нормы амортизации и формула расчета, линейный и другие способы расчета начислений

Бизнес потратил деньги на недвижимость или дорогое оборудование. Это могут быть затраты на покупку основных средств — например, новое здание или станок — или на нематериальный актив — патент на разработку или компьютерную программу. Со временем здание обветшает, детали в станке сотрутся, а программа устареет — накопится износ.

Чтобы себестоимость товара не увеличивалась резко при покупке дорогостоящих активов, их первоначальную стоимость делят на части и включают в себестоимость постепенно. Это и есть амортизация.

Что можно амортизировать

Не все активы можно амортизировать.

✅ Амортизируют основные средства и нематериальные активы. Например, здания и сооружения, транспорт, оборудование, компьютеры, дорогостоящие программы, патенты и так далее.

Амортизация ОС в бухучете — ФСБУ 6/2020

❌ Водные ресурсы, земельные участки и объекты природопользования, музейные предметы и музейные коллекции не амортизируют. У них нет срока полезного использования, они не устаревают и не изнашиваются.

Где учитывают амортизацию

Амортизацию считают в налоговом и бухгалтерском учете.

В налоговом учете. Амортизацию используют для расчета налога на имущество организаций, налога на прибыль, НДФЛ для ИП на ОСН.

У ИП на УСН и ПСН амортизации нет.

Для целей налогообложения амортизируют основные средства со сроком полезного использования больше одного года и стоимостью выше 100 000 ₽.

Все основные средства разбивают на группы по срокам полезного использования. Всего таких групп 10. Они указаны в постановлении правительства от 01.01.2002 № 1.

Налоговая классификация ОС — постановление правительства от 01.01.2002 № 1

Если какого-то актива там нет, используют срок полезного использования из его технической документации.

Медцентр купил медицинские инструменты стоимостью 120 000 ₽ 20 декабря 2021 года. Инструменты входят в первую группу основных средств с полезным сроком использования свыше одного года и до двух лет. Конкретный срок в этом диапазоне выбирает владелец основных средств. Минимальный — 13 месяцев, максимальный — 24 месяца. Допустим, медцентр выбрал срок полезного использования 24 месяца. Это значит, что стоимость инструментов можно списывать на затраты каждый месяц в течение этого срока.

В бухгалтерском учете. Амортизацию используют для формирования себестоимости, расчета износа и остаточной балансовой стоимости активов. С 2022 года компании будут устанавливать лимит по первоначальной стоимости основных средств сами. Чтобы избежать разницы в налоговом и бухгалтерском учете, в последнем можно установить такой же лимит — 100 000 ₽.

ИП бухучет не ведут и амортизацию не начисляют.

При определении срока полезного использования в бухучете обычно применяют налоговую классификацию по группам.

Как рассчитывать амортизацию

Амортизацию начисляют ежемесячно с первого числа месяца, следующего за вводом актива в эксплуатацию, и прекращают с первого числа месяца, следующего за выбытием.

Сломался станок. 5 декабря 2021 года его вывели из эксплуатации и продали на металлолом. Компания купила новый. Его ввели в эксплуатацию 20 декабря 2021 года.
На старый станок не начисляют амортизацию с 1 января 2022 года. А на новый начинают начислять с этой же даты.

В налоговом учете есть два способа начисления амортизации, а в бухгалтерском учете их три.

В налоговом учете:

  1. Линейный.
  2. Нелинейный.

В бухгалтерском учете:

  1. Линейный.
  2. Способ уменьшаемого остатка.
  3. Способ списания стоимости пропорционально объему продукции и его разновидности. Например, для транспорта — пропорционально пробегу.

Самый простой — линейный способ начисления амортизации. Он подойдет для всех видов учета. О нем подробнее расскажем дальше.

Если хотите сделать расчет амортизационных отчислений другим способом, рекомендуем проконсультироваться с бухгалтером, чтобы все учесть правильно.

Линейный метод начисления амортизации. Для расчета нужно знать срок полезного использования и первоначальную стоимость. В первоначальную стоимость входит цена приобретения, стоимость доставки, установки и наладки и любые другие расходы, которые нужны для начала полноценной работы.

Разберем на примере. Пекарня купила оборудование для выпечки хлеба за 1 000 000 ₽. Доставка обошлась в 3000 ₽, а установка и наладка — в 150 000 ₽. Срок полезного использования печи — код ОКОФ: 14 2945000, свыше пяти и до семи лет. Собственник выбрал семь лет, или 84 месяца. Сделаем расчет амортизации:

ПоказательРасчет
Первоначальная стоимость1 000 000 + 3000 + 150 000 = 1 153 000 ₽
Амортизация оборудования1 153 000 / 84 месяца = 13 726 ₽ в месяц

Что важно запомнить

  1. Амортизация — это процесс, при котором стоимость основных средств и нематериальных активов постепенно включают в себестоимость товара, работы или услуги.
  2. Амортизируются основные средства и нематериальные активы со сроком полезного использования больше одного года.
  3. Водные ресурсы, земельные участки и недра не амортизируются.
  4. В налоговом учете амортизируют основные средства стоимостью больше 100 000 ₽. В бухгалтерском учете с 2022 года компании будут устанавливать лимит по первоначальной стоимости основных средств сами. Чтобы избежать разницы, установите в бухучете те же 100 000 ₽.
  5. Амортизацию начисляют ежемесячно с первого числа месяца, следующего за вводом актива в эксплуатацию, прекращают — с первого числа месяца, следующего за выбытием.
  6. В налоговом учете есть два способа расчета амортизации, а в бухгалтерском — три. Самый простой — линейный. Его можно использовать в обоих видах учета.

Метод равномерного начисления износа

Один из самых распространённых методов провидения амортизации – метод равномерного начисления износа (линейный). Он заключается в ежегодном отчислении в фонд амортизации одинаковой доли стоимости основного фонда. Его использует большая часть всех предприятий. 

 

Пример

 

Для того чтобы вычислить ежегодную сумму износа, необходимо первоначальную стоимость основного фонда умножить на норму отчислений (в %) и разделить на 100.

 

 

 Например, компания приобрела оборудование стоимостью 9800,1 долл., срок эксплуатации – 6 лет. Таким образом, каждый год необходимо списать 9800,1/6 = 1633,35 долл. или 100%:6=16,67%.

 

Год

Стоимость в начале года (долл.)

Ежегодный износ (долл.)

Стоимость в конце года (долл.)

1

9800,1

1633,35

8166,75

2

8166,75

1633,35

6533,4

3

6533,4

1633,35

4900,05

4

4900,05

1633,35

3266,7

5

3266,7

1633,35

1633,35

6

1633,35

1633,35

0

 

И, хотя остаточная стоимость основного средства приравнивается к 0, это совсем не означает что его рыночная стоимость стала равной нулю. Этот фонд может обладать реальной стоимостью и находиться в рабочем состоянии еще достаточно долгий период. Нулевая стоимость фонда лишь демонстрирует что компания полностью компенсировала издержки на его покупку.

 

Вывод

 

Метод равномерно начисления амортизации можно использовать для необоротных активов, у которых основным фактором ограничения периода эксплуатации является время, а не моральное старение. Его чаще применяют для стационарных зданий и реже для производственного оборудования. Основное достоинство метода – его простота.

Список изменений

Предварительный просмотр: новые фильтры

Фильтры в Linear помогают найти важные для вас вопросы. Мы сделали фильтры еще более мощными и гибкими, перепроектировав их с нуля. Теперь мы допускаем больше типов фильтров и способов их комбинирования. Интерфейс для создания фильтров также был переработан, чтобы сделать добавление фильтров более быстрым и плавным. Фильтры также влияют на представления, так что теперь вы можете использовать новые фильтры для создания любого представления, которое вы можете придумать, чтобы сохранить его на потом или поделиться с остальной частью вашей команды.

С нашими новыми фильтрами теперь вы можете включать или исключать часть фильтра, управлять тем, как фильтры меток должны сопоставляться с задачами в представлении, и объединять фильтры вместе, чтобы отображать представления со всеми или любыми примененными фильтрами. Чтобы использовать другие операторы и уточнять запросы, щелкните части формулы фильтра, чтобы изменить ее.

Мы также добавили фильтры по дате, которые позволяют сопоставлять задачи по времени их создания, обновления, завершения или срокам их выполнения. Просматривайте выпуск до или после определенной даты или комбинируйте фильтры для просмотра диапазонов дат.

Новые фильтры доступны как функция линейного предварительного просмотра. Чтобы включить его для своего рабочего пространства, попросите администратора открыть меню команд с помощью Cmd/Ctrl K и выполнить поиск «Новые фильтры».

Усовершенствования циклов

Циклы — это линейный способ разделения времени на блоки продолжительностью в одну или несколько недель. Мы разработали циклы таким образом, чтобы их было легко настроить и они работали автоматически, не требуя особого ручного труда для их обслуживания. По мере того, как наши клиенты росли, а Linear росла вместе с ними, мы получали запросы на больший контроль над циклами.Сегодня мы рады представить больше элементов управления для расписания циклов, обновлений и именования, сохраняя при этом функцию простой и автоматизированной:

  • При включении циклов вы можете выбрать, должны ли циклы начинаться с текущей недели или со следующей недели. , наряду с другими настройками
  • Нумерация циклов теперь будет сбрасываться обратно на единицу, если вы отключите, а затем снова включите циклы
  • Завершенные задачи теперь могут быть перемещены в ранее завершенный цикл задним числом (последний цикл теперь отображается как опция цикла)

Мы также хотели предоставить более простой способ называть ваши циклы.Теперь, если вы переименуете и пронумеруете циклы (например, «Неделя 1»), этот пользовательский шаблон будет автоматически реплицирован на предстоящие циклы с увеличением номера. Это упростит установку пользовательского шаблона именования циклов и переопределит нумерацию Linear по умолчанию.

Предварительный просмотр: Документация проекта

С момента запуска «Дорожной карты» к нам поступали запросы на более надежный раздел сведений о проекте. Эта новая функция добавляет возможность прикреплять длинные текстовые документы к вашим проектам. Вы можете использовать это пространство для добавления сводок, RFC или написания любого контента, связанного с вашим проектом, и сохранить его в Linear.

Создайте документ с помощью Cmd/Ctrl K , выполнив поиск «документ» или добавив его на боковой панели сведений о проекте. Ссылка на документы из выпусков, комментариев или других документов, набрав «+», а затем имя документа.

Документы проекта доступны как функция линейного предварительного просмотра. Чтобы включить его для своего рабочего пространства, попросите администратора открыть меню команд с помощью Cmd/Ctrl K и выполнить поиск «Документы проекта».

Исправления и улучшения

  • Улучшено поведение ESC на странице поиска. ESC теперь очищает поле ввода поиска, если оно содержит какой-либо текст. В противном случае он вернется обратно.
  • Теперь мы отображаем более точный источник задач в задачах, созданных с помощью API и интеграций, таких как Slack, GitHub и т. д. реакция на новый комментарий. Подтвердите новые разрешения, отключив и снова включив личные уведомления Slack в настройках.
  • Исправлена ​​проблема с входом в систему SAML для поставщика удостоверений Google
  • Действие «Перейти к циклу» больше не добавляет префикс «Активный» к активному циклу
  • Исправлена ​​проблема, из-за которой боковая панель не всегда выделяла правильный элемент
  • Улучшения навигация по циклам и настройкам сортировки на странице настроек обзора рабочей области
  • Исправлены состояния выделения боковой панели для элементов навигации дорожной карты и моих проблем
  • Редактор быстрого выпуска теперь имеет улучшенные всплывающие подсказки для кнопки сохранения
  • Увеличена ширина всплывающего окна с предложением при упоминании задача
  • Параметры уполномоченного для назначения задачи из Slack теперь будут показывать только членов команды задачи
  • Теперь вы можете выбрать проект и статус при создании новой задачи из Slack
  • Cmd/Ctrl Введите сейчас создает задачу вместо открытия селектора свойств в быстром редакторе задач, когда свойство имеет фокус клавиатуры
  • Исправлена ​​ошибка, из-за которой события клавиатуры в контекстном меню могли применяться к внешнему контексту
  • Улучшено время запуска приложения
  • При проверке элемента списка дел по задаче мы больше не создаем «описание задачи изменено» запись истории
  • Удален выбор команды из кнопки новой задачи на боковой панели в пользу выбора команды в модальном окне
  • Добавлены улучшенные сообщения об ошибках при попытке удалить команду из проекта, у которого есть проблемы, связанные с проектом
  • «Выбрать все» и « Select none» теперь доступны команды при просмотре списков и досок
  • Исправлены проблемы макета с пустым архивом
  • Имена веток, которые ссылаются на идентификаторы предыдущих задач, теперь правильно создают ссылку в GitHub и GitLab
  • Изменения аватара теперь сохраняются автоматически после загрузка
  • Исправлена ​​ошибка, из-за которой задачи, созданные в Slack, иногда создавались несколько раз
  • Исправлена ​​проблема, t может сделать невозможным удаление проектов
  • Устраняет проблему с архивированием проектов, когда проект содержит проблемы с отношениями
  • Удален выбор команды из кнопки новой задачи на боковой панели в пользу выбора команды в модальном режиме
  • Разговоры по внутренней связи теперь будут правильно открываться повторно при публикации внутреннего комментария из Linear
  • Уведомления Slack о новых задачах и комментариях для команд и проектов больше не будут иметь упоминания Linear, преобразованные в упоминания Slack в задаче или комментарии
  • Исправлена ​​возможность появления двойных полос прокрутки в списках, когда полосы прокрутки установлены чтобы всегда был виден
  • Встроенный код больше не прерывается для ненужного переноса
  • Исправлена ​​ошибка, из-за которой состояние по умолчанию для создания задач было бы неправильным
  • Все модальные приложения теперь используют более темный цвет фона
  • Исправлен порядок на странице сортировки
  • Добавлен текст к кнопке «Добавить команду» на странице проекта e
  • Мы больше не ищем в комментариях GitLab MR волшебные слова для связывания проблем, так как это может привести к путанице результатов
  • Список меток для интеграции Intercom теперь отсортирован по алфавиту
  • Теперь вы можете отменить выбор метки или исполнителя при создании новая проблема с интеграцией Intercom
  • Если в приложении OAuth включены веб-перехватчики, теперь мы правильно покажем, что на странице авторизованных приложений
  • Аватары теперь правильно выровнены по вертикали на страницах настроек интеграции
  • Исправлена ​​проблема, из-за которой входящие сообщения занимали много времени время рендеринга на новом клиенте, если рабочая область содержала много проблем
  • Перемещена кнопка поиска на боковой панели приложения
  • Дизайн боковой панели сведений о проекте был обновлен со сворачиваемыми секциями Окно настольного приложения небольшого размера
  • Добавлен ярлык Cmd L для ссылки URL-адресов на задачи. Ярлык Alt Ctrl L в Windows для предотвращения конфликтов
  • Фиксированная подсветка элемента боковой панели не обновляется должным образом при переключении тем
  • Теперь вы можете скрыть все завершенные задачи в представлении всех задач
  • боковая панель теперь недоступна
  • Исправлена ​​ошибка, из-за которой значок избранного на странице задачи не обновлялся должным образом
  • Исправлена ​​проблема, из-за которой добавление обратной галочки в редакторе приводило к потере символа при форматировании как встроенный код
  • Исправлено состояние наведения ссылки во всплывающих сообщениях
  • Предложения редактора больше не будут запускаться внутри ссылок или встроенного кода
  • Нажатие ввода теперь открывает подменю в контекстных меню
  • Обновлен стиль ссылки запроса на вытягивание в задачах
  • Добавлена ​​подсветка синтаксиса для CSS
  • Улучшена понятность меню настроек главного экрана
  • Полосы временной шкалы заканчиваются в конце дня 9 0022
  • Исправлен переход курсора к описанию задачи при создании задачи из линейного. новый
  • Кнопки, которые запускают контекстные меню, теперь постоянно отображаются как активные, пока меню открыто
  • Исправить синие полосы оценки временной шкалы, не заканчивающиеся правильной датой
  • Интеграция экспорта Google Sheets теперь также экспортирует идентификатор родительской задачи
  • [API] Ярлыки, которые добавляются к задаче, теперь проверяются на принадлежность к группе задачи
  • [API] Исправлена ​​проблема, из-за которой порядковые поля переворачивали нулевой фильтр
  • [API] Добавлена ​​новая конечная точка запроса, administrableTeams , в котором перечислены все команды, к которым у пользователя есть права администратора.

Дорожная карта задает направление вашей команды

Дорожные карты являются важным инструментом для определения этого направления.Процесс создания дорожной карты заставляет вас сформулировать видение и решить, как двигаться к нему. Завершающая дорожная карта устанавливает путь выполнения на ближайшее будущее, немного впереди вас и, в идеале, немного вне досягаемости. Любой сотрудник вашей компании может просмотреть дорожную карту, чтобы быстро понять, над чем нужно работать и почему это важно. Взгляд на дорожную карту четко показывает прогресс и может помочь вам определить проекты, требующие внимания.

Независимо от того, являетесь ли вы частью стартапа из трех человек или компании с тысячей сотрудников, дорожная карта поможет вам и всем, с кем вы работаете, быстрее принимать взвешенные решения и сосредоточиться на более важной работе.Четкие дорожные карты обеспечивают согласованность команд, даже если отдельные сотрудники работают независимо друг от друга. Амбициозные дорожные карты заставляют людей бросать вызов самим себе, чтобы делать свою работу лучше всех. Наглядные дорожные карты мотивируют людей, предоставляя им контекст того, почему их работа важна, и создают культуру прозрачности, которая укрепляет доверие, упрощает сотрудничество и даже стимулирует его по счастливой случайности.

При построении дорожной карты и управлении ею следует соблюдать следующие правила:

  • Инвестировать в планирование
  • Разбить его на этапы
  • Работать над важными проектами
  • Расставить приоритеты для воздействия
  • Регулярно пересматривать
  • 1 Инвестируйте в планирование

    Существуют разные способы планирования дорожной карты. Вы, вероятно, выберете небольшую группу лидеров компании для ее создания, если только вы не достаточно малы, чтобы провести эффективное совещание по планированию, если в нем будет участвовать вся команда. Выделите время перед первой совместной встречей, чтобы обдумать цели компании и определить, какие части продукта вы хотите улучшить больше всего. Используйте свою продуктовую интуицию. Просмотрите отзывы клиентов и запросы функций. Также важно проверять показатели компании, такие как регистрация, активация, удержание и доход, чтобы вы знали, как находить компромиссы между функциями и должны ли определенные области приложения иметь более высокий приоритет, чем другие.

    Несмотря на то, что вы создаете первоначальную дорожную карту с небольшой командой, людям нравится чувствовать себя вовлеченными, и они будут чувствовать себя более сопричастными, если каким-то образом будут участвовать в процессе планирования. Дайте каждому возможность внести свой вклад. Позвольте командам предлагать свои собственные проекты, и вы даже можете установить время, в течение которого каждый может отправить отзыв и идею. Кроме того, поговорите со своими клиентами. Обратитесь к клиентам, которые запросили функции, которые вы считаете приоритетными, особенно если вы не уверены в потребностях клиентов или масштабах проекта.Как бы вы ни планировали свою дорожную карту, полезно ограничить процесс временем и разработать повторяемую структуру, чтобы было легче создавать сверхурочные.

    Разбейте его на этапы

    На дорожной карте всегда будет бесконечный список проектов или идей, которые нужно реализовать. Бесконечные списки могут быть сложными для расстановки приоритетов и демотивации для просмотра, поэтому полезно разбивать дорожные карты на этапы, основанные на времени, теме или цели.

    Вехи с привязкой ко времени придают планированию и выполнению регулярный ритм.Примеры включают ежемесячные, квартальные и годовые дорожные карты. Более короткие вехи легче планировать, и они, естественно, побуждают вас уменьшать масштабы проектов, чтобы они соответствовали им. Успех означает реализацию большинства проектов.

    Ориентированные на достижение цели вехи связывают работу с конкретными результатами. Примеры включают создание крупной функции, нового дизайна или публичного запуска. Успех означает выполнение достаточного количества проектов для реализации или достижения цели.

    Тематические вехи определяют фокус, который сужает список проектов.Некоторые примеры тем могут быть направлены на улучшение основного опыта или стимулирование вовлеченности. При использовании тематических вех полезно добавить ограничение по времени или количеству, чтобы список проектов оставался управляемым. Успех означает влияние, которое вы можете увидеть или измерить.

    Работа над важными проектами

    В идеале проекты, над которыми вы решили работать, каким-то образом продвигаются вперед. Они могут создать новую функциональность, запустить кампанию или улучшить существующую область продукта. Создавайте функции до конца и не разбивайте проекты на настолько мелкие части, что прогресс не кажется значимым. Некоторые проекты должны быть выполнены несмотря ни на что, например создание инструментов и документации, поэтому внесите их в дорожную карту и используйте, чтобы сбалансировать тип и интенсивность работы. Иногда команды также объединяют небольшие проблемы в проект, чтобы сделать его более увлекательным. Например, вы можете создать проект под названием «Неделя ошибок», в котором основное внимание будет уделяться работе с приоритетными ошибками из невыполненной работы.

    Приоритизация воздействия

    Используйте вехи более высокого уровня, чтобы сосредоточить работу на более значимых проектах.В первую очередь отдавайте приоритет фундаментальным проектам и тем, которые окажут наибольшее влияние на качество обслуживания клиентов. Откажитесь от приоритетов проектов, которые не улучшают продукт для клиентов, не помогают достичь целей компании или повысить качество и скорость работы.

    Когда у вас есть список проектов, над которыми нужно работать, измените последовательность по мере необходимости, чтобы совместить доступность товарищей по команде, а также интенсивность проекта. Работайте над парой небольших проектов после выпуска более крупной функции, чтобы избежать выгорания. Меняйте руководителей проектов, чтобы лучшие исполнители не чувствовали себя перегруженными, и каждый получил возможность развить навыки управления проектами.Вы должны работать над как можно меньшим числом проектов одновременно как в команде, так и по отдельности. Отправляйте существующие проекты, прежде чем начинать новые. Сосредоточенность повышает качество работы, а доставка превращает исполнение в привычку. Упорядочивайте проекты таким образом, чтобы новая работа строилась поверх предыдущих проектов, что сделает изменения органичными и может иметь комплексный эффект. Также лучше выпустить три значительных проекта, чем закончить дорожную карту с десятью наполовину завершенными.

    Регулярно пересматривайте

    Создайте рутину для просмотра дорожной карты и оценки хода выполнения проектов.Вы можете включать обзор дорожной карты в еженедельные собрания команды, а также напрямую связываться с руководителями проекта. Создайте среду, которая активно поощряет руководителей проектов честно делиться информацией и просить о помощи, а не просто сообщать о статусе или ожидаемой дате завершения. Руководителям компаний также полезно проводить менее регулярные проверки, когда вы смотрите на прогресс, достигнутый в дорожной карте в целом, перераспределяете приоритеты предстоящих проектов и вносите другие изменения на основе новой информации или отзывов клиентов. Отличный план бесполезен, если вы не будете следовать ему, и вы не узнаете, насколько хорошо вы это делаете, без регулярных обзоров.

    Оставайтесь гибкими

    Дорожная карта должна казаться существенной, но не невозможной. Сбалансированная дорожная карта оставляет до трети общего рабочего времени на устранение ошибок, исправлений и незавершенных работ. Делайте все возможное, чтобы оценить проекты, и ожидайте, что это займет больше времени, чем вы думаете — так всегда бывает. Также лучше быть амбициозным и ошибаться, добавляя в дорожную карту слишком много проектов, а не слишком мало. Еще пара проектов, чем целесообразно, мотивируют команду к выпуску. Слишком мало проектов может привести вас в ловушку работы со скоростью графика, замедляя темп.

    Также полезно рассматривать дорожные карты как живые документы, которые можно обновлять. Обстоятельства будут меняться, и иногда вам нужно будет перенести проект, добавить проект или отложить его. Просто не меняйте и не перемешивайте проекты слишком часто, иначе вы рискуете отклониться от первоначального направления или потерять импульс.

    Как мы составляем дорожные карты в Linear

    Мы работаем с ежеквартальными дорожными картами. У каждого квартала есть четкая тема, чтобы сфокусировать работу и помочь нам выбрать, над какими проектами работать e.грамм. Q4 2020 Основной пользовательский опыт.

    Мы выбираем фокус, изучая потребности бизнеса, цели продукта и отзывы клиентов, а затем выбираем проекты, подпадающие под эту цель. Мы обязательно оставляем передышку и в дорожной карте. В идеале дорожная карта отражает 60-80% возможной работы и оставляет место для работы над проблемами из бэклога, исправления ошибок и обработки непредвиденных потребностей.

    Мы тратим пару недель в начале каждого квартала на создание дорожной карты. Строгого процесса нет, но обычно требуется пара встреч в течение ± 2 недель, чтобы завершить работу.Между встречами мы обсуждаем отзывы и идеи в Slack или во время звонков в Zoom. Определившись с проектами на квартал, мы расставляем приоритеты в хронологическом порядке и назначаем ответственных за первый набор проектов. Если нет четкого владельца, то мы оставляем проект неназначенным ближе к дате начала, поскольку слишком сложно предсказать, кто освободится или когда закроются предыдущие проекты.

    Каждому проекту мы назначаем лида. Они несут ответственность за создание спецификации проекта, проведение собраний команды проекта и написание сообщения журнала изменений.Отдельные члены команды проекта создают свои собственные задачи в рамках проекта, хотя руководитель отвечает за обеспечение выпуска проекта.

    Мы начинаем нашу еженедельную встречу с обзора дорожной карты. Мы просматриваем список проектов один за другим в хронологическом порядке, и каждый владелец проекта сообщает команде статус. Если возникнет препятствие или проблема, мы можем быстро обсудить ее или решить после встречи.

    В течение квартала проекты обычно занимают больше времени или перемещаются вверх или вниз по временной шкале, поскольку более срочные или авантюристические рабочие поверхности.Это ожидаемо и нормально. Мы также не любим указывать конкретные даты выпуска отдельных проектов. Мы можем найти предполагаемую дату завершения, просмотрев график на боковой панели сведений о проекте, и получить общее представление о динамике, просмотрев циклы и журналы изменений. Иногда срок выполнения полезен или необходим, например, для запуска, когда нам приходится работать с внешними сторонами, или когда ограничение времени работы помогает сузить объем. Например, легко продолжать откладывать запуск, чтобы настроить домашнюю страницу, но немного более приятные пиксели не приносят дополнительной ценности для клиента или компании, поэтому вместо этого команде лучше сосредоточиться на работе над функциями продукта. Однако мы должны признать, что нам было очень весело полировать пиксели для последней версии, и мы потратили больше времени, чем нам, вероятно, нужно, на логотип Big Sur. Это было хорошо проведенное время.

    Общие линейные методы — Scholarpedia

    Определение общих линейных методов


    Общие линейные методы (GLM) для численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) \[\тег{1} \осталось\{ \begin{массив}{ll} y'(x)=f(y(x)), & x\in [x_0,X], \\ у(х_0)=у_0, & \конец{массив} \правильно.{[п]}\,\) \(i=1,2,\ldots,r\ ,\) — внешние этапы. Эти методы были введены Burrage и Butcher (1980) (см. также Беррейдж (1995), Мясник (1987, 2003), Хайрер, Норсетт и Ваннер (1993)). Мы также ссылаемся на недавнюю статью Батчера (2006) для подробного обзора многих аспектов. GLM, такие как мотивация для этих формул, условия порядка, линейная и нелинейная устойчивость, специальные семейства методов, а также барьеры порядка и стабильности. GLM включают в себя в качестве частных случаев методы Рунге-Кутты (RK), линейные многошаговые методы (LMM), e. грамм. Методы BDF и методы предикторов-корректоров. Как обсуждалось в Butcher (2006), оба метода RK, LMM имеют ограничения, а класс GLM предлагает новые возможности. возможности построения новых формул, которые пытаются объединить преимущества методов РК (большие области устойчивости) и LMM (высокий стадийный порядок), избегая при этом недостатки этих методов (низкий стадийный порядок формул РК, малые области устойчивости для LMM).

    Классификация GLM

    Затраты на реализацию (2) определяются коэффициентом матрица \(A=[a_{ij}]\) и в зависимости от ее структуры ОЛМ можно разделить на четыре типа, которые подходят для нежестких или жестких дифференциальных систем в последовательной или параллельной вычислительной среде.В этом обзоре мы будем обсудить построение GLM, для которых матрица коэффициентов \(A\) принимает следующая форма \[ А= \осталось[ \begin{массив}{ccccc} \лямбда & 0 & 0 & \ldots & 0 \\ a_{21} & \лямбда & 0 & \ldots & 0 \\ a_{31} & a_{32} & \лямбда & \ldots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots \\ a_{s1} & a_{s2} & \ldots & a_{s,s-1} & \lambda \конец{массив} \правильно], \] где \(\lambda =0\) для методов типа \(1\) или \(\lambda > 0\) для типа \(2\) методы. Эти методы подходят для нежестких или жестких дифференциальные системы в последовательной вычислительной среде. Методы типа \(3\) и типа \(4\) соответствуют матрице формы \[ A=\textrm{diag}\big(\lambda,\lambda,\ldots,\lambda\big)=\lambda I, \] куда \(\lambda =0\) для методов типа \(3\) или \(\lambda > 0\) для типа \(4\) методы. Эти формулы подходят для нежесткого или жесткого дифференциала. системы в параллельной вычислительной среде.

    Методы диагонального неявного многоэтапного интегрирования

    В оставшейся части статьи мы ограничим наше внимание в основном такими методами, что \(p=q=r=s\ ,\) где \(p\) — порядок, \(q\) — этапный порядок, \(r\) — число внешних каскадов, а \(s\) — количество внутренних каскадов.rv_i=1\,\) и в результате эта матрица ограничена по степени, что обеспечивает нуль-устойчивость (2). Полученные методы тогда называются диагонально-неявными многоступенчатыми методы интеграции (DIMSIM). Этот класс GLM был введен Батчером (1993a). (см. также Мясник (1993b, 1994)) и дальнейшее расследование Мясник, Шартье и Яцкевич (1997, 1999) и Мясник и Яцкевич (1993,1996,1997,1998,2001a,2001b,2002,2003, 2004а, 2004б). В «Мяснике и Яцкевиче» (1993, 1996, 1998) Мясник, Яцкевич и Миттельманн (1997), и Яцкевич и Миттельманн (1999) описаны различные подходы к построению таких методов и в Butcher, Chartier & Jackiewicz (1997, 1999), Мясник и Яцкевич (1997,2001,2002,2003), Мясник и Подгайский (2006) и Яцкевич (2002, 2005) обсуждаются аспекты реализации, такие как местные оценка погрешности, изменение размера шага по методике Нордсика, построение непрерывных интерполянтов, и решение полученного системы нелинейных уравнений для неявных методов упрощенным Итерации Ньютона.{-1}У. \]


    Матрица \(M(z)\), определяемая формулой (4) будем называть матрицей устойчивости (2) и рациональная функция, определяемая равенством \[\тег{5} p(w,z)=\det(wI-M(z)) \]

    как функция устойчивости метода (2). Эта функция определяет свойства абсолютной устойчивости общего линейного метода (2). Область абсолютной устойчивости определяется как множество, где \(M(z)\) ограничено по мощности, т.е. \(\{z\in\mathbb{C}: p(w,z)=0\Rightarrow |w|\le 1\}\ . \) Общий линейный метод называется A-устойчивым, если его область абсолютной устойчивости содержит левую половину комплексной плоскости.

    Различные подходы к построению модулей DIMSIM

    Методы, представленные в Мясник и Яцкевич (1993,1996,1998), Мясник, Яцкевич и Миттельманн (1997), и Яцкевич и Миттельманн (1999) были получены требуя, чтобы GLM обладал некоторыми желательными свойствами стабильности (такими же области абсолютной устойчивости, как и метод Рунге-Кутты того же порядок для методов типа \(1\), A-устойчивость для методов типа \(2\)) и затем решая полученные системы нелинейных уравнений для остальные коэффициенты метода.Для методов низкого порядка \((1\le p\leq 3)\) мы смогли сгенерировать и решить результирующие системы нелинейных уравнений путем символьной обработки пакеты, такие как MATHEMATICA или MAPLE. Для заказа \(p=4\) МАТЕМАТИКА все еще мог генерировать нелинейные системы в символьной форме но уже не был достаточно мощным, чтобы обеспечить приближения к их решениям. Вместо этого мы решили эти системы с помощью помощью численных алгоритмов, основанных на гомотопическом подходе. Мы использовались программы-продолжения от PITCON в Rheinboldt & Burkardt (1983a, 1983b), ALCON в Deuflhard, Fiedler & Kunkel (1987), и HOMEPACK в Watson, Billups & Morgan (1987), и примеры методов, полученных таким образом, перечислены в Мясник и Яцкевич (1996).Для более высоких порядков \((p\geq 5)\) больше нельзя было генерировать соответствующие системы нелинейных уравнений в управляемой форме пакетами символьных манипуляций и другим подходом к создание таких методов было необходимо. В Мяснике и Яцкевиче (1998) мы описали подход, основанный вариант метода рядов Фурье и по методу наименьших квадратов с использованием метода Левенберга-Марквардта алгоритм (см. Levenberg (1944)). Используя этот алгоритм, мы получили методы типа \(1\) и типа \(2\). порядка \(p=5\) и \(p=6\) с желаемой устойчивостью характеристики.Т\,\) Мясник (1993а):

\[ А=\влево[ \begin{массив}{cc} 0 и 0 \\ 2 и 0 \конец{массив} \правильно], \четверка U=\влево[ \begin{массив}{cc} 1 и 0 \\ 0 и 1 \конец{массив} \правильно], \четверка B=\влево[ \начать{массив}{cr} \frac{5}{4} и \frac{1}{4} \\ \frac{3}{4} & -\frac{1}{4} \конец{массив} \правильно], \четверка В=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \фракция{1}{2} и \фракция{1}{2} \конец{массив} \правильно]. \ :\]

Этот метод имеет ту же область абсолютной устойчивости, что и явный двухстадийный метод Рунге-Кутты второго порядка.Т\,\) Мясник (1993а):

\[ А=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{2-\sqrt{2}}{2} \\ \frac{6+2\sqrt{2}}{7} и \frac{2-\sqrt{2}}{2} \конец{массив} \правильно], \четверка U=\влево[ \begin{массив}{cc} 1 и 0 \\ 0 и 1 \конец{массив} \правильно], \четверка B=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{73-34\sqrt{2}}{28} и \frac{-5+4\sqrt{2}}{4} \\ \frac{87-48\sqrt{2}}{28} и \frac{-45+34\sqrt{2}}{28} \конец{массив} \правильно], \четверка В=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{3-\sqrt{2}}{2} & \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \\ \frac{3-\sqrt{2}}{2} & \frac{-1+\sqrt{2}}{2} \конец{массив} \правильно].Т\,\) Мясник (1993а):

\[ А=\влево[ \begin{массив}{cc} 0 и 0 \\ 0 и 0 \конец{массив} \правильно], \четверка U=\влево[ \begin{массив}{cc} 1 и 0 \\ 0 и 1 \конец{массив} \правильно], \четверка B=\влево[ \начать{массив}{cr} -\frac{3}{8} & -\frac{3}{8} \\ -\frac{7}{8} и \frac{9}{8} \конец{массив} \правильно], \четверка В=\влево[ \begin{массив}{cc} -\frac{3}{4} & \frac{7}{4} \\ -\frac{3}{4} и \frac{7}{4} \конец{массив} \правильно]. \ :\]

Этот метод имеет интервал абсолютной устойчивости, равный \([-\frac{4}{3},0]\ .Т\,\) Мясник (1993а):

\[ А=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{3-\sqrt{3}}{2} & 0 \\ 0 & \frac{3-\sqrt{3}}{2} \конец{массив} \правильно], \четверка U=\влево[ \begin{массив}{cc} 1 и 0 \\ 0 и 1 \конец{массив} \правильно], \четверка B=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{18-11\sqrt{3}}{4} и \frac{-12+7\sqrt{3}}{4} \\ \frac{22-13\sqrt{3}}{4} и \frac{-12+9\sqrt{3}}{4} \конец{массив} \правильно], \четверка В=\влево[ \begin{массив}{cc} \frac{3-2\sqrt{3}}{2} и \frac{-1+2\sqrt{3}}{2} \\ \frac{3-2\sqrt{3}}{2} и \frac{-1+2\sqrt{3}}{2} \конец{массив} \правильно].p\big(w-R(z)\big), \] где \(R(z)\) — функция устойчивости метода Рунге-Кутты порядка \(p\ .\) В отличие от DIMSIM эти методы с \(p=q\) и \(r=s=p+1\) можно построить, используя только линейные операции, Мясник и Райт (2003). Поиск оптимальных формул в этом классе и разработка алгоритмов на основе этих методов является предметом текущих исследований.

Библиография

  • Burrage, K. (1995) Параллельные и последовательные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, Clarendon Press, Oxford.
  • Burrage, K. and Butcher, JC (1980) Нелинейная устойчивость общего класса методов дифференциальных уравнений, BIT 20, 185–203.
  • Батчер, Дж. К. (1987) Численный анализ обыкновенных дифференциальных уравнений. Рунге-Кутта и общие линейные методы, Джон Вили, Нью-Йорк.
  • Butcher, JC (1993a) Диагонально-неявные многоэтапные методы интеграции, Appl. Число. Мат. 11, 347–363.
  • Батчер, Дж.C. (1993b) Общие линейные методы параллельного решения обыкновенных дифференциальных уравнений, World Series in Applicable Analysis 2, 99–111.
  • Butcher, JC (1994) Преобразование для анализа DIMSIM, BIT 34, 25–32.
  • Бутчер, Дж. К. (2003) Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений, John Wiley, Chichester.
  • Батчер, Дж. К. (2006) Общие линейные методы, Acta Numerica 15, 157-256.
  • Батчер, Дж.C., Chartier, P. и Jackiewicz, Z. (1997) Представление Nordsieck DIMSIM, Numerical Algorithms 16, 209–230.
  • Бутчер, Дж. К., Шартье, П. и Яцкевич, З. (1999) Эксперименты с кодом DIMSIM типа переменного порядка \ (1 \), Численные алгоритмы 22, 237–261.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (1993) Диагонально-неявные общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений, BIT 33, 452–472.
  • Батчер, Дж. К. и Яцкевич, З.(1996) Построение диагонально-неявных общих линейных методов типа 1 и 2 для обыкновенных дифференциальных уравнений, Appl. Число. Мат. 21, 385–415.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (1997) Реализация диагонально-неявных многоэтапных методов интегрирования для обыкновенных дифференциальных уравнений, SIAM J. Numer. Анальный. 34, 2119–2141.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (1998) Построение диагонально-неявных многоэтапных методов интегрирования высокого порядка для обыкновенных дифференциальных уравнений, Appl.Число. Мат. 27, 1–12.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (2001) Надежная оценка ошибок для модулей DIMSIM, BIT 41, 656–665.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (2002) Оценка погрешности для методов Нордсика, Численные алгоритмы 31, 75–85.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (2003) Новый подход к оценке ошибок для общих линейных методов, Numer. Мат. 95, 487–502.
  • Батчер, Дж. К. и Яцкевич, З.(2004a) Построение общих линейных методов со свойствами устойчивости Рунге-Кутты, Численные алгоритмы 36, 53–72.
  • Бутчер, Дж. К. и Яцкевич, З. (2004b) Неусловно устойчивые общие линейные методы для обыкновенных дифференциальных уравнений, BIT 44, 557–570.
  • Батчер, Дж.К., Яцкевич, З. и Миттельманн, Х.Д. (1997) Нелинейный оптимизационный подход к построению общих линейных методов высокого порядка, J. ​​Comput. заявл. Мат. 81, 181–196.
  • Бутчер, Дж. К. и Подхайски, Х. (2006) Об оценке ошибок в общих линейных методах для жестких ОДУ, Appl. Число. Мат. 56, 345–357.
  • Батчер, Дж. К. и Райт, В. М. (2003) Построение практических общих линейных методов, BIT 43, 695–721.
  • Deuflhard, P., Fiedler, B. and Kunkel, P, (1987) Эффективный числовой путь, следующий за критическими точками, SIAM J. Numer. Анальный. 24, 912–927.
  • Э.Хайрер, Э., Норсетт, С.П. и Ваннер, Г. (1993) Решение обыкновенных дифференциальных уравнений I. Нежесткие задачи, Springer-Verlag, Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк.
  • Яцкевич, З. (2002) Реализация DIMSIM для жестких дифференциальных систем, Appl. Число. Мат. 42, 251–267.
  • Яцкевич, З. (2005) Построение и реализация общих линейных методов для обыкновенных дифференциальных уравнений: обзор, J. Sci. вычисл. 25, 29–49.
  • Яцкевич З.и Миттельманн, Х. Д. (1999) Использование структуры при создании модулей DIMSIM, J. Comput. заявл. Мат. 107, 233–239.
  • Левенберг, К. (1944) Метод решения некоторых задач методом наименьших квадратов, Quart. заявл. Мат. 2, 164–168.
  • Райнбольдт, В.К. и Буркардт, Дж. В. (1983a) Локально параметризованный процесс продолжения, ACM Trans. Мат. Программное обеспечение 9, 215–235.
  • Райнбольдт, В.К. и Буркардт, Дж. В. (1983b) Алгоритм \(596\ :\) программа для локально параметризованного процесса продолжения, ACM Trans.Мат. Программное обеспечение 9, 236–241.
  • Уотсон, Л.Т., Биллапс, С.К. и Морган, А.П. (1987) HOMPACK: набор кодов для глобально сходящихся гомотопических алгоритмов, ACM Trans. Мат. Программное обеспечение 13, 281–310.
  • Райт, В.М. (2002a) Общие линейные методы с присущей им устойчивостью Рунге-Кутты, доктор философии. диссертация, Оклендский университет, Новая Зеландия.
  • Райт, В. М. (2002b) Явные общие линейные методы с присущей устойчивостью Рунге-Кутты, Numer.Алгоритмы 31, 381–399.

Внутренние ссылки

Внешние ссылки

См. также

Метод исключения для решения линейных систем (Алгебра 1, Системы линейных уравнений и неравенств) — Mathplanet

Другой способ решения линейной системы — метод исключения. В методе исключения вы либо добавляете, либо вычитаете уравнения, чтобы получить уравнение с одной переменной.

Когда коэффициенты одной переменной противоположны, вы складываете уравнения, чтобы исключить переменную, а когда коэффициенты одной переменной равны, вы вычитаете уравнения, чтобы исключить переменную.


Пример

$$\begin{matrix} 3y+2x=6\\ 5y-2x=10 \end{matrix}$$

Мы можем исключить переменную \(x\), добавив два уравнения.

$3г+2x=6$$

$$\underline{+\: 5y-2x=10}$$

$$=8y\: \: \: \: \; \; \; \; =16$$

$$\begin{matrix} \: \: \: y\: \: \: \: \: \; \; \; \; \; =2 \end{matrix}$$

Значение \(y\) теперь можно подставить в любое из исходных уравнений, чтобы найти значение \(x\)

$3г+2x=6$$

$$3\cdot {\color{green} 2}+2x=6$$

$6+2x=6$$

$$x=0$$

Решение линейной системы равно \((0, 2)\).

Во избежание ошибок перед началом исключения убедитесь, что все одинаковые термины и знаки равенства находятся в одних и тех же столбцах.

Если у вас нет уравнений, в которых вы можете исключить переменную путем сложения или вычитания, вы можете начать с умножения одного или обоих уравнений на константу, чтобы получить эквивалентную линейную систему, в которой вы можете исключить одну из переменных путем сложения. или вычитание.

Пример

$$\begin{matrix} 3x+y=9\\ 5x+4y=22 \end{matrix}$$

Начните с умножения первого уравнения на \(-4\) так, чтобы коэффициенты \(y\) были противоположны

$$\begin{matrix} \color{green}{-4} \cdot (3x + y) = \color{green}{-4} \cdot 9\\ 5x + 4y = 22 \end{matrix}$ $

$$\Rightarrow$$

$$-12x-4y=-36$$

$$\underline{+5x+4y=22 }$$

$$=-7x\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: =-14$$

$$\begin{matrix} \: \:\; \:\: x\: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:=2 \end{matrix}$$

Подставьте \(x\) в любое из исходных уравнений, чтобы получить значение \(y\)

$$3x+y=9$$

$$3\cdot {\color{green} 2}+y=9$$

$$6+y=9$$

$$y=3$$

Решение линейной системы \((2, 3)\)


Видеоурок

Решите следующую линейную систему методом исключения

$$\begin{matrix} 2y — 4x = 2 \\ y = -x + 4 \end{matrix}$$

Линейные уравнения

Линейное уравнение представляет собой уравнение прямой линии

Это все линейные уравнения:

  у = 2х + 1
  5х = 6 + 3у
  у/2 = 3 — х

Давайте рассмотрим более подробно один пример:

Пример:

y = 2x + 1 — линейное уравнение:

График числа y = 2x+1 представляет собой прямую линию

 

  • Когда x увеличивается, y увеличивается в два раза быстрее , поэтому нам нужно 2x
  • Когда x равен 0, y уже равен 1.Так что +1 тоже нужен
  • Итак: у = 2х + 1

Вот несколько примеров значений:

х у = 2х + 1
-1 у = 2 × (-1) + 1 = -1
0 у = 2 × 0 + 1 = 1
1 у = 2 × 1 + 1 = 3
2 у = 2 × 2 + 1 = 5

Убедитесь сами, что эти точки являются частью линии выше!

Различные формы

Существует множество способов записи линейных уравнений, но обычно они содержат константы (например, «2» или «с») и должны содержать простые переменные (например, «х» или «у»).

Примеры: Это линейные уравнения:

Но переменные (такие как «x» или «y») в линейных уравнениях НЕ имеют:

Примеры: Это

НЕ линейные уравнения:
  г 2 — 2 = 0
  3√х — у = 6
  х 3 /2 = 16

Форма пересечения уклонов

Наиболее распространенной формой является уравнение пересечения наклона прямой линии:

Пример: у = 2х + 1

  • Уклон: м = 2
  • Пересечение: б = 1

Форма точки-наклона

Другим распространенным является уравнение прямой линии в форме точки-наклона:

у — у 1 = м(х — х 1 )

 

Пример: у — 3 = (¼)(х — 2)

Оно имеет форму y − y 1 = m(x − x 1 ) , где:

Общая форма

А еще есть Общий вид уравнения прямой:

Топор + В + С = 0

(A и B не могут быть одновременно равны 0)

Пример: 3x + 2y − 4 = 0

Он имеет форму Ax + By + C = 0 где:

Существуют и другие, менее распространенные формы.

Как функция

Иногда линейное уравнение записывается как функция с f(x) вместо y:

у = 2х — 3
f(x) = 2x − 3
Это одно и то же!

И функции не всегда пишутся с использованием f(x):

у = 2х — 3
w(u) = 2u − 3
h(z) = 2z − 3
Это тоже самое!

Функция идентификации

Существует специальная линейная функция, называемая «функция идентификации»:

f(x) = x

А вот его график:


Он образует угол 45° (его наклон равен 1)

Это называется «Идентичность», потому что то, что выходит, идентично тому, что входит:

В Выход
0 0
5 5
−2 −2
. ..и т.д. …и т. д.

Постоянные функции

Другим особым типом линейной функции является постоянная функция… это горизонтальная линия:

f(x) = С

Независимо от значения «x», f(x) всегда равно некоторому постоянному значению.

Использование линейных уравнений

Возможно, вам захочется прочитать, что можно делать с линиями:

Решение линейных систем методом исключения

Метод устранения

Целью этого раздела является разработка еще одного полностью алгебраического метода решения системы линейных уравнений.Начнем с определения того, что значит складывать уравнения. Обратите внимание, что в следующем примере, если мы добавим выражения по обе стороны от знака равенства, мы получим еще одно истинное утверждение.

В общем случае это верно: если A , B , C и D являются алгебраическими выражениями, то мы имеем следующее свойство сложения уравнений. D — алгебраические выражения, где A = B и C = D , тогда A + C = B + .:

Для системы

складываем два уравнения вместе:

Сумма y и − y равна нулю, и этот член исключается. Это оставляет нам линейное уравнение с одной переменной, которое легко решить:

.

На данный момент у нас есть координата x одновременного решения, так что все, что осталось сделать, это подставить обратно, чтобы найти соответствующее значение y .

Следовательно, решением системы является (3, 2). Этот процесс описывает метод исключения (или добавления) — средство решения системы путем добавления эквивалентных уравнений таким образом, чтобы исключить переменную. для решения линейных систем. Конечно, переменная не всегда так легко устраняется. Как правило, нам нужно найти эквивалентную систему, применяя свойство равенства умножения к одному или обоим уравнениям, чтобы выровнять одну из переменных для исключения.Цель состоит в том, чтобы либо члены x , либо члены y были противоположными, чтобы при добавлении уравнений члены исключались. Шаги метода исключения показаны в следующем примере.

 

Пример 1: Решить методом исключения: {2x+y=73x−2y=−7.

Решение:

Шаг 1: Умножьте одно или оба уравнения, чтобы исключить одну из переменных.В этом примере мы исключим переменную y , умножив обе части первого уравнения на 2. Позаботьтесь о распределении.

Это оставляет нам эквивалентную систему, в которой переменная и выстраивается в очередь для исключения.

Шаг 2: Сложите уравнения, чтобы исключить одну из переменных.

Шаг 3: Найдите оставшуюся переменную.

Шаг 3: Обратно подставить в любое уравнение или его эквивалентное уравнение.

Шаг 4: Проверка. Помните, что решение должно решать оба исходных уравнения.

Ответ: (1, 5)

 

Иногда нам придется перемножать оба уравнения, чтобы выровнять одну из переменных, которую нужно исключить. Мы хотим, чтобы в результирующих эквивалентных уравнениях были члены с противоположными коэффициентами.

 

Пример 2: Решите методом исключения: {5x−3y=−13x+2y=7.

Решение: Мы решили исключить члены с переменной y , потому что коэффициенты имеют разные знаки. Для этого сначала определяем наименьшее общее кратное коэффициентов; в этом случае НОК(3, 2) равен 6. Поэтому умножьте обе части обоих уравнений на соответствующие значения, чтобы получить коэффициенты −6 и 6.

В результате получается следующая эквивалентная система:

Термины и теперь выстроены для устранения.

Заменитель спины.

Ответ: (1, 2)

 

Иногда линейные системы не приводятся в стандартной форме. В этом случае лучше сначала переставить уравнения, прежде чем приступать к решению методом исключения.

 

Пример 3: Решите методом исключения: {5x+12y=113y=4x+1.

Решение: Сначала перепишите второе уравнение в стандартной форме.

В результате получается следующая эквивалентная система, в которой одинаковые термины выровнены по столбцам:

Мы можем исключить член с переменной y , если умножим второе уравнение на −4.

Далее мы складываем уравнения вместе,

Заменитель спины.

Ответ: (1/3, 7/9)

 

Попробуйте! Решите методом исключения: {2x+y=−3−3x−2y=4.

Ответ: (−2, 1)

На этом этапе мы исследуем, что происходит при решении зависимых и несогласованных систем методом исключения.

 

Пример 4: Решите методом исключения: {3x−y=76x−2y=14.

Решение: Чтобы исключить переменную x , мы могли бы умножить первое уравнение на −2.

Теперь складываем уравнения, у нас есть

Верное утверждение указывает, что это зависимая система.Линии совпадают, и нам нужно y через x , чтобы представить множество решений в виде (x, mx+b). Выберите одно из исходных уравнений и найдите y . Поскольку уравнения эквивалентны, не имеет значения, какое из них мы выберем.

Ответ: (x, 3x−7)

 

Пример 5: Решите методом исключения: {−x+3y=9 2x−6y=12.

Решение: Мы можем исключить x , умножив первое уравнение на 2.

Теперь складываем уравнения, у нас есть

Ложное утверждение указывает на то, что система несовместима. Прямые параллельны и не пересекаются.

Ответ: Нет решения, ∅

 

Попробуйте! Решите методом исключения: {3x+15y=−152x+10y=30.

Ответ: Нет решения, ∅

Очистка дробей и десятичных знаков

Для линейной системы, в которой уравнения имеют дробные коэффициенты, обычно лучше очистить дроби перед началом метода исключения.

 

Пример 6: Решите: {−110x+12y=45 17x+13y=−221.

Решение: Вспомните, что мы можем очищать дроби, умножая обе части уравнения на наименьший общий знаменатель (НОД). Позаботьтесь о распространении, а затем упростите.

Это приводит к эквивалентной системе, где уравнения имеют целые коэффициенты,

Решить методом исключения.

Заменитель спины.

Ответ: (−3, 1)

 

Мы можем использовать аналогичную технику для очистки десятичных знаков перед решением.

 

Пример 7: Решите: {3x−0,6y=−0,9−0,5x+0,12y=0,16.

Решение: Умножьте каждое уравнение на наименьшую степень 10, необходимую для получения целых коэффициентов. В этом случае умножьте первое уравнение на 10, а второе уравнение на 100.

В результате получается эквивалентная система, в которой уравнения имеют целые коэффициенты:

Решить методом исключения.

Заменитель спины.

Ответ: (−0,2, 0,5)

 

Попробуйте! Решите методом исключения: {13x−23y=313x−12y=83.

Ответ: (5, −2)

Краткое изложение методов решения линейных систем

Нами разработаны три метода решения линейных систем двух уравнений с двумя переменными.В этом разделе мы суммируем сильные и слабые стороны каждого метода.

Графический метод полезен для понимания того, что такое система уравнений и как должны выглядеть решения. Когда уравнения системы изображаются на одном и том же наборе осей, мы видим, что решением является точка пересечения графиков. Построение графика упрощается, когда уравнения представлены в форме пересечения наклона. Например,

Совместное решение (−1, 10) соответствует точке пересечения.Одним из недостатков этого метода является то, что он очень неточен. Когда координаты решения не являются целыми числами, метод практически непригоден. Если у нас есть выбор, мы обычно избегаем этого метода в пользу более точных алгебраических методов.

Метод подстановки, с другой стороны, является полностью алгебраическим методом. Это требует, чтобы вы решили для одной из переменных и подставили результат в другое уравнение. В полученном уравнении есть одна переменная, для которой вы можете решить.Этот метод особенно удобен, когда в системе есть переменная с коэффициентом 1. Например,

В этом случае легко решить для y в первом уравнении, а затем подставить результат в другое уравнение. Одним из недостатков этого метода является то, что он часто приводит к эквивалентным уравнениям с дробными коэффициентами, с которыми утомительно работать. Если нет коэффициента 1, то обычно лучше выбрать метод исключения.

Метод исключения — это полностью алгебраический метод, в котором используется свойство сложения уравнений. Мы умножаем одно или оба уравнения, чтобы получить эквивалентные уравнения, в которых одна из переменных исключается, если мы складываем их вместе. Например,

Здесь мы умножаем обе части первого уравнения на 5 и обе части второго уравнения на -2. Это приводит к эквивалентной системе, в которой переменная x исключается, когда мы складываем уравнения.Конечно, есть и другие комбинации чисел, которые дают тот же результат. Мы могли бы даже исключить переменную y . Независимо от того, какая переменная будет исключена первой, решение будет одним и тем же. Обратите внимание, что метод подстановки в этом случае потребовал бы утомительных вычислений с дробными коэффициентами. Одна слабость метода исключения, как мы увидим позже при изучении алгебры, состоит в том, что он не всегда работает для нелинейных систем.

Ключевые выводы

  • Метод исключения — это полностью алгебраический метод решения системы уравнений.
  • Умножьте одно или оба уравнения системы на определенные числа, чтобы получить эквивалентную систему, состоящую из одинаковых членов с противоположными коэффициентами. Сложение этих эквивалентных уравнений вместе исключает переменную, и в полученном уравнении есть одна переменная, для которой вы можете решить.
  • Прежде чем приступать к методу исключения, рекомендуется сначала переписать уравнения в стандартной форме.
  • Когда значение одной из переменных определено, подставьте обратно в одно из исходных уравнений или эквивалентные им уравнения и определите соответствующее значение другой переменной.

Тематические упражнения

Часть A: Метод устранения

Решить методом исключения.

1. {х+у=32х-у=9

2. {х-у=-65х+у=-18

3. {х+3у=5-х-2у=0

4. {−x+4y=4x−y=−7

5. {−x+y=2x−y=−3

6. {3x−y=−26x+4y=2

7. {5x+2y=-310x-y=4

8.{−2x+14y=28x−7y=21

9. {−2x+y=412x−6y=−24

10. {х+8у=33х+12у=6

11. {2x−3y=154x+10y=14

12. {4x+3y=-103x-9y=15

13. {−4x−5y=−38x+3y=−15

14. {−2x+7y=564x−2y=−112

15. {−9x−15y=−153x+5y=−10

16. {6x−7y=42x+6y=−7

17. {4x+2y=4−5x−3y=−7

18. {5x−3y=−13x+2y=7

19.{7x+3y=92x+5y=-14

20. {9x−3y=37x+2y=−15

21. {5x−3y=−7−7x+6y=11

22. {2x+9y=83x+7y=-1

23. {2x+2y=53x+3y=-5

24. {−3x+6y=−122x−4y=8

25. {25x+15y=-115x+10y=-1

26. {2x−3y=218x−12y=5

27. {у=-2х-3-3х-2у=4

28. {28x+6y=96y=4x−15

29. {у=5х+15у=-5х+5

30.{2x−3y=95x−8y=−16 

31. {12x−13y=1652x+y=72

32. {14x−19y=1x+y=34

33. {12x−14y=1314x+12y=−196

34. {−143x+2y=4−13x+17y=421

35. {0,025x+0,1y=0,50,11x+0,04y=-0,2

36. {1,3x+0,1y=0,350,5x+y=-2,75

37. {х+у=50,02х+0,03у=0,125

38. {х+у=300,05х+0,1у=2,4

Постройте линейную систему и решите ее методом исключения.

39. Сумма двух чисел равна 14. Большее число на 1 меньше, чем в два раза меньше меньшего.

40. Сумма двух чисел равна 30. Большее в 2 раза больше меньшего в три раза.

41. Разница двух чисел равна 13, а их сумма равна 11.

42. Разница двух чисел равна 2, а их сумма равна −12.

Часть B: Смешанные упражнения

Решить любым методом.

43. {у=2х-33х+у=12

44. {х+3у=-5у=13х+5

45. {х=-1у=3

46. {у=12х+9=0

47. {у=х-х+у=1

48. {у=5ху=-10

49. {3y=2x−243x+4y=2

50. {у=-32х+1-2у+2=3х

51. {7у=-2х-17х=2у+23

52. {5x+9y-14=03x+2y-5=0

53. {у=-516х+10у=516х-10

54.{у=-65х+12х=6

55. {2(x−3)+y=03(2x+y−1)=15

56. {3−2(x−y)=−34x−3(y+1)=8

57. {2(x+1)=3(2y−1)−213(x+2)=1−(3y−2)

58. {x2−y3=−7×3−y2=−8

59. {x4−y2=34×3+y6=16

60. {13x−23y=313x−12y=83

61. {−110x+12y=4517x+13y=−221

62. {у=-53х+1213х+15у=110

63. {−17x+y=−23−114x+12y=13

64.{115x−112y=13−310x+38y=−32

65. {х+у=42000,03х+0,0525у=193,5

66. {х+у=3500,2х+0,1у=52,5

67. {0,2x−0,05y=0,430,3x+0,1y=−0,3

68. {0,1x+0,3y=0,30,05x−0,5y=−0,63

69. {0,15x−0,25y=−0,3−0,75x+1,25y=−4

70. {−0,15x+1,25y=0,4−0,03x+0,25y=0,08

Часть C: Темы форума

71. Как выбрать наилучший метод решения линейной системы?

72.Что означает зависимость системы? Как мы можем сказать, является ли данная система зависимой?

ответы

1: (4, -1)

3: (−10, 5)

5: ∅

7: (1/5, -2)

9: (х, 2х+4)

11: (6, -1)

13: (−3, 3)

15: ∅

17: (−1, 4)

19: (3, −4)

21: (−1, 2/3)

23: ∅

25: (1/5, −2/5)

27: (−2, 1)

29: (−1, 10)

31: (1, 1)

33: (−2, −16/3)

35: (−4, 6)

37: (2. 5, 2.5)

39: два числа 5 и 9.

41: два числа 12 и -1.

43: (3, 3)

45: (−1, 3)

47: Ø

49: (6, −4)

51: (3, -1)

53: (32, 0)

55: (х, −2x+6)

57: (−4, 3)

59: (1, −1)

61: (−3, 1)

63: ∅

65: (1200, 3000)

67: (0.8, -5,4)

69: Ø

Общие линейные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений

Предисловие.

1 Дифференциальные уравнения и системы.

1.1 Проблема начального значения.

1.2 Примеры дифференциальных уравнений и систем.

1.3 Существование и единственность решений.

1.4 Непрерывная зависимость от начальных значений и правая часть.

1.5 Производные по параметрам и начальным значениям.

1.6 Теория устойчивости.

1.7 Жесткие дифференциальные уравнения и системы.

1.8 Примеры жестких дифференциальных уравнений и систем.

2 Введение в общие линейные методы.

2.1 Представление общих линейных методов.

2.2 Предварительная согласованность, согласованность, согласованность стадий и стабильность нуля.

2.3 Конвергенция.

2.4 Условия заказа и поэтапного заказа.

2.5 Локальная ошибка дискретизации методов высокого стадийного порядка.

2.6 Линейная теория устойчивости общих линейных методов.

2.7 Типы общих линейных методов.

2.8 Наглядные примеры общих линейных методов.

2.9 Алгебраическая устойчивость общих линейных методов.

2.10 Базовый одноэтапный метод.

2.11 Процедуры запуска.

2.12 Коды, основанные на общих линейных методах.

3 Методы диагонально-неявного многоэтапного интегрирования.

3.1 Представление модулей DIMSIM.

3.2 Формулы представления матрицы коэффициентов B .

3.3 Преобразование для анализа модулей DIMSIM.

3.4 Конструкция модулей DIMSIM типа 1.

3.5 Конструкция модулей DIMSIM типа 2.

3.6 Конструкция модулей DIMSIM типа 3.

3.7 Конструкция модулей DIMSIM типа 4.

3.8 Подход ряда Фурье к построению модулей DIMSIM высокого порядка.

3.9 Минимизация методом наименьших квадратов.

3.10 Примеры модулей DIMSIM типа 1 и типа 2.

3.11 Представление модулей DIMSIM в Нордсике.

3.12 Формулы представления для матриц коэффициентов P и G .

3.13 Примеры модулей DIMSIM в форме Nordsieck.

3.14 Свойства регулярности модулей DIMSIM.

4 Внедрение модулей DIMSIM.

4.1 Формулировка модулей DIMSIM с переменным размером шага.

4.2 Оценка локальной ошибки.

4.3 Оценка локальной ошибки для больших размеров шага.

4.4 Построение непрерывных интерполянтов.

4.5 Размер шага и стратегия изменения ордера.

4.6 Обновление вектора внешних аппроксимаций.

4.7 Стабильность ступенчатого управления модулями DIMSIM.

4.8 Упрощенные итерации Ньютона для неявных методов.

4.9 Численные эксперименты с модулями DIMSIM 1 типа.

4.10 Численные эксперименты с модулями DIMSIM типа 2.

5 Двухэтапные методы Рунге-Кутты.

5.1 Представление двухэтапных методов Рунге-Кутты.

5.2 Условия заказа методик ТСРК.

5.3 Вывод порядковых условий до шестого порядка.

5.4 Анализ ТСРК методами с одним этапом.

5.5 Анализ методов ТСРК в два этапа.

5.6 Анализ методов ТСРК в три этапа.

5.7 Двухэтапные методы коллокации.

5.8 Анализ линейной устойчивости двухэтапных методов коллокации.

5.9 Двухэтапные методы коллокации с одной стадией.

5.10 Двухэтапные методы коллокации с двумя этапами.

5.11 Методы ТСРК с квадратичными функциями устойчивости.

5.12 Построение методов ТСРК с присущей им квадратичной устойчивостью.

5.13 Примеры высокоустойчивых квадратичных полиномов и методы ТСРК.

6 Внедрение методик ТСРК.

6.1 Формулировка методов TSRK с переменным размером шага.

6.2 Процедуры запуска для методов ТСРК.

6.3 Распространение ошибки, условия порядка и постоянная ошибки.

6.4 Вычисление приближений к вектору Нордсика и оценка локальной погрешности.

6.5 Вычисление аппроксимаций решения и стадийных значений между узлами сетки.

6.6 Построение методов ТСРК с заданной константой погрешности и оценкой локальной погрешности.

6.7 Непрерывные расширения методов ТСРК.

6.8 Численные эксперименты.

6.9 Оценка локальной ошибки двухэтапных методов коллокации.

6.10 Недавняя работа над двухэтапными методами коллокации.

7 Общие линейные методы с присущей устойчивостью Рунге-Кутты.

7.1 Представление методов и условий заказа.

7.2 Внутренняя устойчивость по Рунге-Кутте.

7.3 Матрицы с двойным компаньоном.

7.4 Преобразования между массивами методов.

7.5 Преобразования между функциями устойчивости.

7.6 Нижние треугольные матрицы и характеризация матриц с нулевым спектральным радиусом.

7.7 Канонические формы методов.

7.8 Построение явных методов с IRKS и хорошим балансом между точностью и стабильностью.

7.9 Примеры явных методов с IRKS.

7.10 Построение А-стабильных и L-стабильных методов с IRKS.

7.11 Примеры A-стабильных и L-стабильных методов с IRKS.

7.12 Жесткоточные методы с ИРКС.

8 Внедрение GLM с IRKS.

8.1 Формулировка GLM с переменным размером шага.

8.2 Процедуры запуска.

8.3 Распространение ошибок для GLM.

8.4 Оценка локальной ошибки дискретизации и оценка членов более высокого порядка.

8.5 Вычисление входного вектора внешних приближений для следующего шага.

Похожие записи

Вам будет интересно

Терминалы приема платежей – Платежные терминалы | Kiosks.ru

На чем заработать деньги дома: Как заработать деньги дома без вложений в 2022 году, способы

Добавить комментарий

Комментарий добавить легко