Пример факторинга: Факторинг в примерах | Retail.ru

Содержание

Часто задаваемые вопросы — ООО ВТБ Факторинг

Виктор Пинчук, управляющий директор ВТБ Факторинг, отвечает на вопросы слушателей «Школы факторинга»

Если вы являетесь поставщиком и хотите выбрать факторинговую компанию, которая максимально быстро и с наименьшими трудозатратами реализует для вас сделку, то вам нужно для начала узнать у своего покупателя, с какими факторами он работает. Сейчас участниками рынка реализовано множество проектов по финансированию подрядчиков и поставщиков. Есть кейсы, когда у дебитора единственный финансовый партнер по факторингу. Есть кейсы, предоставляющие поставщикам возможность выбора из нескольких альтернатив. Другими словами, изучите, какие факторинговые компании работают с вашим дебитором и готовы максимально быстро купить дебиторскую задолженность в его адрес.

Цифровизация очень сильно повлияла на сроки заключения договора факторинга. Если раньше на реализацию сделки по факторингу с момента первого звонка до запуска уходило два месяца, то сейчас платформенные решения, такие как GetFinance, позволяют реализовывать стандартные сделки всего за три дня, а то и быстрее.

А если понимать под финансированием время «от подтверждения дебитором поставки товара до получения денег на расчетный счет», то у ВТБ Факторинг процесс сжался до нескольких часов. Деньги поступают в основном день в день, либо на следующий день, в зависимости от того, когда мы получили подтверждение. Если, подтверждение пришло утром, то деньги к вам поступят в тот же день.

Стоит помнить, что получение вами денег на расчётный счет зависит и от банка, реквизиты которого вы указали при реализации факторинга. Если это банк одной группы, то в рамках одного корреспондентского счета деньги доходят молниеносно. Если банк входит в систему быстрых платежей (СБП), по которой есть возможность быстрого перевода, то деньги дойдут тоже быстро. Если ваш расчетный счет в небольшом региональном банке, то деньги могут идти дольше.

Словом, точного ответа на вопрос «Как быстро приходит финансирование?» не существует, потому что есть и операционный момент. Но у нас, как у провайдеров, нет никакого интереса, имея ваше желание и подтвержденные документы, перенести выплату на завтра и терять день финансирования.

Поэтому, мы делаем всё, чтобы сделка была реализована максимально быстро!

Видеоинструкции по работе — Электронный факторинг — СКБ Контур

Заполните, пожалуйста, все поля.

Кому:

Электронный факторинг   

Ваше имя: *

Электронная почта: *

Телефон:

Название организации:

ИНН:

Регион: *

01 – Республика Адыгея02 – Республика Башкортостан03 – Республика Бурятия04 – Республика Алтай05 – Республика Дагестан06 – Республика Ингушетия07 – Республика Кабардино-Балкария08 – Республика Калмыкия09 – Республика Карачаево-Черкесия10 – Республика Карелия11 – Республика Коми12 – Республика Марий Эл13 – Республика Мордовия14 – Республика Саха (Якутия)15 – Республика Северная Осетия — Алания16 – Республика Татарстан17 – Республика Тыва18 – Республика Удмуртия19 – Республика Хакасия20 – Республика Чечня21 – Республика Чувашия22 – Алтайский край23 – Краснодарский край24 – Красноярский край25 – Приморский край26 – Ставропольский край27 – Хабаровский край28 – Амурская область29 – Архангельская область30 – Астраханская область31 – Белгородская область32 – Брянская область33 – Владимирская область34 – Волгоградская область35 – Вологодская область36 – Воронежская область37 – Ивановская область38 – Иркутская область39 – Калининградская область40 – Калужская область41 – Камчатский край42 – Кемеровская область43 – Кировская область44 – Костромская область45 – Курганская область46 – Курская область47 – Ленинградская область48 – Липецкая область49 – Магаданская область50 – Московская область51 – Мурманская область52 – Нижегородская область53 – Новгородская область54 – Новосибирская область55 – Омская область56 – Оренбургская область57 – Орловская область58 – Пензенская область59 – Пермский край60 – Псковская область61 – Ростовская область62 – Рязанская область63 – Самарская область64 – Саратовская область65 – Сахалинская область66 – Свердловская область67 – Смоленская область68 – Тамбовская область69 – Тверская область70 – Томская область71 – Тульская область72 – Тюменская область73 – Ульяновская область74 – Челябинская область75 – Забайкальский край76 – Ярославская область77 – Москва78 – Санкт-Петербург79 – Еврейская АО83 – Ненецкий АО86 – Ханты-Мансийский АО87 – Чукотский АО89 – Ямало-Ненецкий АО91 – Республика Крым92 – Севастополь99 – Байконур

Вопрос: *

Факторинг без регресса для малого бизнеса, управление дебиторской задолженностью

Индивидуальный предпринимательЮридическое лицо Организационно-правовая форма

Ваше имя

Телефон

ИНН компании

Байконур (Казахстан)МоскваСанкт-ПетербургАлтайский край, БарнаулАмурская область, БлаговещенскАрхангельская область, АрхангельскАстраханская область, АстраханьБелгородская область, БелгородБелгородская область, Старый ОсколБрянская область, БрянскВладимирская область, ВладимирВладимирская область, Гусь-ХрустальныйВладимирская область, КовровВладимирская область, МуромВолгоградская область, ВолгоградВолгоградская область, ВолжскийВолгоградская область, КамышинВолгоградская область, МихайловкаВологодская область, ВологдаВологодская область, ЧереповецВоронежская область, ВоронежЕврейская автономная область, БиробиджанЗабайкальский край, ЧитаИвановская область, ИвановоИвановская область, КинешмаИркутская область, АнгарскИркутская область, ИркутскКалининградская область, КалининградКалужская область, КалугаКемеровская область, КемеровоКемеровская область, Ленинск-КузнецкийКемеровская область, НовокузнецкКировская область, КировКостромская область, КостромаКраснодарский край, АрмавирКраснодарский край, КраснодарКраснодарский край, НовороссийскКраснодарский край, СочиКрасноярский край, ЕнисейскКрасноярский край, ЖелезногорскКрасноярский край, КрасноярскКрасноярский край, МинусинскКурская область, КурскЛенинградская область, КиришиЛипецкая область, ЛипецкМосковская область, БалашихаМосковская область, ВоскресенскМосковская область, ДмитровМосковская область, ЖелезнодорожныйМосковская область, ЗеленоградМосковская область, КоломнаМосковская область, КоролевМосковская область, КрасногорскМосковская область, ЛюберцыМосковская область, ОдинцовоМосковская область, ПодольскМосковская область, РеутовМосковская область, Сергиев ПосадМосковская область, СерпуховМосковская область, СолнечногорскМосковская область, ХимкиМосковская область, ШаховскаяМосковская область, ЩелковоМосковская область, ЭлектростальМурманская область, МурманскНижегородская область, АрзамасНижегородская область, БорНижегородская область, ДзержинскНижегородская область, КстовоНижегородская область, Нижний НовгородНижегородская область, СаровНовгородская область, Великий НовгородНовосибирская область, НовосибирскОмская область, ОмскОренбургская область, БузулукОренбургская область, ОренбургОренбургская область, ОрскОренбургская область, Соль-ИлецкОрловская область, ОрелПензенская область, ПензаПермский край, ПермьПриморский край, ВладивостокПриморский край, НаходкаПриморский край, УссурийскПсковская область, ПсковРеспублика Адыгея, МайкопРеспублика Башкортостан, СтерлитамакРеспублика Башкортостан, УфаРеспублика Бурятия, Улан-УдэРеспублика Дагестан, МахачкалаРеспублика Кабардино-Балкария, НальчикРеспублика Карачаево-Черкесия, ЧеркесскРеспублика Карелия, ПетрозаводскРеспублика Коми, СыктывкарРеспублика Марий Эл, Йошкар-ОлаРеспублика Саха (Якутия), ЯкутскРеспублика Северная Осетия-Алания, ВладикавказРеспублика Татарстан, АльметьевскРеспублика Татарстан, КазаньРеспублика Татарстан, Набережные ЧелныРеспублика Татарстан, НижнекамскРеспублика Тыва (Тува), КызылРеспублика Удмуртия, ИжевскРеспублика Хакасия, АбаканРеспублика Чечня, ГрозныйРеспублика Чувашия, НовочебоксарскРеспублика Чувашия, ЧебоксарыРостовская область, БатайскРостовская область, ГуковоРостовская область, Каменск-ШахтинскийРостовская область, НовочеркасскРостовская область, Ростов-на-ДонуРостовская область, ТаганрогРостовская область, ШахтыРязанская область, КасимовРязанская область, РязаньСамарская область, НовокуйбышевскСамарская область, СамараСамарская область, СызраньСамарская область, ТольяттиСаратовская область, СаратовСаратовская область, ЭнгельсСвердловская область, ЕкатеринбургСвердловская область, Каменск-УральскийСвердловская область, Нижний ТагилСмоленская область, СмоленскСтавропольский край, НевинномысскСтавропольский край, ПятигорскСтавропольский край, СтавропольТамбовская область, ТамбовТверская область, ТверьТомская область, ТомскТульская область, НовомосковскТульская область, ТулаТюменская область, ТюменьУльяновская область, ДимитровградУльяновская область, УльяновскХабаровский край, Комсомольск-на-АмуреХабаровский край, ХабаровскХанты-Мансийский автономный округ, НижневартовскХанты-Мансийский автономный округ, СургутЧелябинская область, ЗлатоустЧелябинская область, КарталыЧелябинская область, КопейскЧелябинская область, КоркиноЧелябинская область, КыштымЧелябинская область, МагнитогорскЧелябинская область, МиассЧелябинская область, ЧелябинскЧелябинская область, ЮжноуральскЯмало-Ненецкий автономный округ, Новый УренгойЯмало-Ненецкий автономный округ, Тарко-СалеЯрославская область, РыбинскЯрославская область, Ярославль Регион

Captcha

Пожалуйста подтвердите что вы не робот, введите символы с изображения

REGNO

Доверие стоит дорого | Edisoft

В России к факторингу многие торговые сети до сих пор относятся с некоторой опаской и настороженностью. Во многом они правы. Как инструмент работы с кредиторской задолженностью, факторинг зачастую связан с возможными судебными и коммерческими рисками не только для фактора, но и для дебитора. Такие случаи нередки и о них знают представители отрасли.

Несмотря на всю привлекательность, слабое место факторинга кроется в схеме с двусторонним взаимодействием поставщика и его финансового агента. В большинстве случаев дебитор находится в стороне от сделок, присоединяясь к процессу лишь для подтверждения поставок. А фактор, в среднем, проверяет лишь около 20% полученных данных, финансируя своего клиента буквально на доверии.

В любой момент факторинговая компания может обратиться к ритейлеру с требованием по какой-либо поставке, которое будет совершенно неожиданным.

Провели взаимозачёт? Готовьтесь к суду

Классический пример связан с одним судебным спором между крупнейшим российским ритейлером и не менее крупным фактором, который начался ещё в 2013 году, а завершился только в феврале 2017-го.

Поставщик и торговая сеть заключили договор поставки. По нему ритейлеру полагались бонусы за увеличение объёма продаж. Но для скорейшего получения оборотных средств поставщик воспользовался услугами факторинговой компании. Он предоставил банку копию договора поставки и уведомление об уступке. Проблема же возникла, когда фактор не получил оплату по некоторым поставкам. Выяснилось, что между торговой сетью и её контрагентом произошёл зачёт поставок. Факторинговая компания об этом не знала, профинансировав поставки. А позже логично предъявила требования к дебитору по оплате.

Суд вынес решение в пользу фактора. По уведомлению об уступке дебитор был обязан оплатить поставки в сторону факторинговой компании, а поставщику нужно было оплатить бонусы дебитору со своего счёта. Сам зачёт поставок и бонусов без уведомления фактора проводить не следовало.

«Пострадавшей» от решения суда стороной здесь оказался дебитор, но убытки мог понести и фактор. Чтобы избежать подобной ситуации достаточно было использовать не генеральное, а индивидуальное уведомление об уступке.

Но здесь следует принять во внимание затраты на ручной труд сотрудников сетей, которые занимаются проверкой данных, обработкой бумаг. Ресурсы бухгалтерии или казначейства стоят времени и денег. Ведь поставки в крупных сетях исчисляются десятками и сотнями тысяч ежемесячно. Во многом поэтому до сих пор распространены схемы с генеральным уведомлением об уступке. Так кажется проще, на первый взгляд.

На бумаге же провести трёхстороннюю сверку между фактором, дебитором и кредитором сложно. А по опыту – практически невозможно. Общение по электронной почте, телефону и другим традиционным каналам связи отнимает много времени. И пока идёт сверка, ситуация может кардинально измениться. Дебитор со своей стороны не контролирует цикл поставки, отправленной на факторинг, и не может следить за циклом проведения финансирования. Некоторым дебиторам эта информация не нужна. Но для улучшения ситуации финансирования поставщиков и последующего снижения стоимости товара на полке – этот момент лучше не упускать из виду.

Почему генеральное уведомление – это плохо

Практика на рынке такова, что многие факторинговые компании, начиная работать с поставщиками, присылают в сторону дебитора уведомление об уступке на бумажном носителе. В уведомлении говорится, что все поставки данного контрагента будут теперь оплачиваться на другие реквизиты по причине проведения факторинга. Но в этих случаях информация о возвратах и зачётах по поставкам не передаётся фактору в ответ.

Усугубляют ситуацию и стандартные минусы бумажного документооборот в факторинге. Контроль за финансированием, информацией о возвратах, остатках и заявках на факторинг неполон или отсутствует вовсе. Риски получить иск – реальные. И эта ситуация может развернуться как в одну, так и в другую сторону.

Кроме того, генеральное уведомление об уступке лишает дебитора рычага влияния и возможности стабилизировать финансовую дисциплину поставщика.

В противовес этому существует индивидуальное уведомление, когда дебитор может оперировать данными об отправленных на финансирование поставках. В случае непредвиденного зачёта, требования, дополнительного бонуса, дебитор может принять поставку, которая гарантированно не отправлена на факторинг. Это хороший инструмент, позволяющий сэкономить ресурсы со стороны торговой сети. Подтверждение каждой поставки также позволяет дебитору всегда быть в курсе, что происходит с данным денежным требованием и оперативно реагировать на возможные изменения. В этой ситуации можно использовать, например, механизм частичной оплаты на поставщика и частичной оплаты на фактора.

Ещё один полезный инструмент для дебитора – использование реестров подтверждённых документов для факторинга с применением резерва, формируемого из задолженностей и истории общения с каждым конкретным поставщиком. Например, при необходимости, можно удержать 5 или 10% от поставок контрагента.

Это позволяет дебитору оставить себе небольшой финансовый буфер, чтобы позже не прибегать к отзывам документов, либо к сложным схемам по уведомлению факторинговой компании, что данная поставка оплачиваться не будет и требуется произведение зачёта.

Многие дебиторы замечают, что генеральное уведомление об уступке подписывается один раз и впоследствии больше не требуется лишних действий. В этом есть часть правды. Индивидуальное уведомление по каждой поставке – это большой объём документов, если они пересылаются в бумажном виде. Поэтому здесь нужно выбирать: либо согласиться на риски и возможные последствия судебных разбирательств, либо автоматизировать эту работу, сэкономив свои ресурсы и деньги. Доверчивость стоит дороже.

Очевидное решение всех перечисленных проблем видится в электронном документообороте. Только технологии безбумажного обмена данными и алгоритмы автоматических сверок одновременно помогают закрыть все слабые места факторинговых схем. ЭДО в факторинге позволяет сделать эти процессы дешевле и проще, чем при использовании ручного труда. Благо на рынке уже есть необходимые решения в сфере электронного факторинга, которые успешно испытаны на практике.

В качестве иллюстрации использована репродукция картины Питера Брейгеля Старшего «Притча о слепых». Дерево, масло, 1568 год.

19 апреля 2017 г.


Колледж Алгебра
Урок 7:  Факторизация многочленов

 

Цели обучения


После завершения этого руководства вы сможете:
  1. Найдите наибольший общий делитель (НОД) многочлена.
  2. Вынесите на множитель GCF полинома.
  3. Фактор многочлена с четырьмя членами путем группировки.
  4. Разложите на множители трехчлен вида .
  5. Разложите на множители трехчлен вида .
  6. Указывает, является ли многочлен простым многочленом.
  7. Разложите на множители совершенный квадратный трехчлен.
  8. Фактор разности квадратов.
  9. Фактор суммы или разности кубов.
  10. Применение стратегии факторинга для факторизации многочлена полностью.

Введение


Факторинг заключается в написании выражения как произведения факторы. Например, мы можем записать 10 как (5)(2), где 5 и 2 называются факторы из 10. Мы также можем сделать это с полиномиальными выражениями. В В этом уроке мы рассмотрим несколько способов разложения многочлена на множители. выражения. К тому времени, когда я закончу с тобой, ты будешь факторинговая машина.

В основном, когда мы факторизуем, мы обращаем процесс умножения многочлен, описанный в Уроке 6: Многочлены.

 

 

Учебник



Наибольший общий делитель (GCF)

GCF для полинома является наибольшим мономом что делит (есть множитель) каждого члена многочлена.




Шаг 1. Определите GCF полинома.

 

Шаг 2: Делить GCF из каждого члена многочлена.

Этот процесс в основном обратный распределительное свойство.





Шаг 1: Идентифицировать GCF полинома.

Наибольший моном, который мы можем вынести из каждого срок 2 y .


Шаг 2: Делить GCF из каждого члена многочлена.



*Разделить 2 у из каждого члена поли.


Будьте осторожны. Если срок полинома точно такой же, как GCF, когда вы делите его на GCF, вы осталось с 1, НЕ 0.   Не думай: «О, у меня ничего не осталось», на самом деле есть 1. Как показано выше, когда мы делим 2 y на 2 y , мы получаем 1, поэтому нам нужна 1 как в третьих термин внутри (  ).

Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы должны получить оригинал многочлен. В этом случае он проверяется. Факторинг дает вам другой способ написать выражение, чтобы оно было эквивалентно оригинальная проблема.





Эта задача выглядит немного иначе, потому что теперь наша GCF является биномом. Это нормально, мы относимся к этому так же, как когда у нас есть одночлен ЗКФ.

Обратите внимание, что это не факторизованная форма из-за плюс у нас есть до 5 в задаче.Чтобы быть в факторизованной форме, он должен быть написано как произведение факторов.


Шаг 1: Идентифицировать GCF полинома.

На этот раз это не моном, а бином, который мы иметь общее.

Наш GCF равен (3 x -1).


Шаг 2: Делить GCF из каждого члена многочлена.



*Разделить (3 x — 1) из обеих частей


Когда мы разделим (3 x — 1) из первый член, у нас осталось x . Когда мы делим его на второй член, у нас остается 5.

Вот как мы получаем ( x + 5) для нашего второго ( ).


Факторизация многочлена с 
Четыре слагаемых путем группировки

В некоторых случаях не существует GCF для ВСЕХ терминов в полиноме. Если у вас есть четыре термина без GCF, попробуйте разложить по группам.

Шаг 1: Группа первый два термина вместе, а затем два последних термина вместе.

 

Шаг 2. Разложение GCF из каждого отдельного двучлена.

 

Шаг 3. Вынесите за скобки обычный бином.





Обратите внимание, что GCF не существует для ВСЕХ терминов. Так вперед и фактор это путем группировки.


Шаг 1: Сгруппируйте первый два термина вместе, а затем два последних термина вместе.



*Две группы по два термина



Шаг 2: Фактор из GCF от каждого отдельного бинома.


*Вычтите x в квадрате с 1-го (  )
*Вычтите 2 из 2-го (  ) 


Шаг 3. обычный бином.



*Разделить ( x + 3) из обеих частей


Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим исходный многочлен.





Обратите внимание, что GCF не существует для ВСЕХ терминов. Так вперед и фактор это путем группировки.


Шаг 1: Сгруппируйте первый два термина вместе, а затем два последних термина вместе.



*Две группы по два термина


Будьте осторожны. Когда первый член второй группы из двух имеет знак минус перед ним, вы хочу поставить минус перед вторым (   ). Когда ты для этого вам нужно изменить знак ОБЕИХ слагаемых второго ( ), как показано выше.



Шаг 2: Фактор из GCF от каждого отдельного бинома.


*Вычтите 7 x в квадрате с 1-го (  )
*Ничего не вычитается из 2-й ( )


Шаг 3. обычный бином.



*Разделить ( x — 2) из обеих частей


Обратите внимание, что если мы умножим наш ответ, мы получим оригинал многочлен.



Факторинг Трехчлены от Форма

(где число перед x в квадрате равно 1)


По сути, мы обращаем метод FOIL, чтобы получить наш факторизованный форма.Ищем два бинома, которые при умножении их вы получаете данный трехчлен.

Шаг 1. Настройка продукта из двух ( ), где каждый будет содержать два термина.

Это будет выглядеть так: (      )( ).

 

Шаг 2: Найдите коэффициенты которые идут на первых позициях.

Чтобы получить x в квадрате (это F в ФОЛЬГА), у нас должно быть x в первый позиции в каждом (      ).

Таким образом, это будет выглядеть так: ( )( x      ).

 

Шаг 3. Найдите факторы, которые идут на последних позициях.

Факторы, которые будут стоять на последнем месте должно быть два выражения такие, что их произведение равно c (константа) и в то же время их сумма равна b (число перед x членом).

Когда вы найдете эти факторы, вы должны рассмотреть знак выражения:

Если c положительный , ваши факторы будут иметь одинаковый знак в зависимости от b подписать.

Если c отрицательное , ваши факторы будут иметь противоположные знаки в зависимости от b подписать.



Обратите внимание, что у этого трехчлена нет GCF.

Итак, мы приступаем к разложению на множители трехчлена форма .


Шаг 1: Установить до продукта из двух ( ), где каждый будет содержать два термина.


Это будет выглядеть так это: ( )(      )


Шаг 2: Найдите факторы которые идут на первых позициях.


Так как у нас есть в квадрате как наш первый срок, нам понадобится следующее:

( и )(       )


Шаг 3. Найдите в факторы, которые идут на последних позициях.


Нам нужны два числа, произведение которых равно -14, а сумма равна -5. Это должно быть -7 и 2.

Положив это на наши коэффициенты, мы получим:



*-7 и 2 — два числа, прод.равно -14
, а сумма -5


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал трехчленный.




Обратите внимание, что GCF этого трехчлена равен 2 y .

Нам нужно вынести за скобки GCF до мы занимаемся трехчленной частью этого.



*Вычтите GCF из 2 y


Мы еще не закончили, мы еще можем факторизовать трехчленный. это формы .

Каждый раз, когда вы используете факторинг, вы должны убедиться, что ты факторизируешь все это факторизуемо.Иногда приходится делать несколько шаги факторинга, прежде чем вы закончите.


Шаг 1 (трехчлен): набор произведение двух ( ), где каждый будет содержать два термина.


Это будет выглядеть так:      2 y ( )(      )


Шаг 2 (трехчлен): найти факторы, которые выходят на первые позиции.


Поскольку у нас есть х в квадрате в качестве первого члена, нам понадобится последующий:

2 г ( х )( x        )


Шаг 3 (трехчлен): найдите множители, занимающие последние позиции.


Нам нужны два числа, произведение которых равно 15, а сумма равна 8. Это должны быть 5 и 3.

Положив это на наши коэффициенты, мы получим:



*5 и 3 — два числа, прод.15
*и сумма 8


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал трехчленный.



Факторинг трехчленов формы

 (где и не равно 1)


Опять же, это обратная сторона метода FOIL.

Разница между этим трехчленом и тем обсуждалось выше, является перед квадратом x стоит число, отличное от 1. Это означает, что не только ты нужно найти факторы с, но и .

Шаг 1: Настроить произведение двух ( ), где каждый будет содержать два термина.

Это будет выглядеть так (      )( )

 

Шаг 2. Используйте пробную версию и ошибка, чтобы найти необходимые факторы.

Коэффициенты и будут иди первым члены биномов и множители c войдут в последние члены биномов.

Хитрость заключается в том, чтобы получить правильную комбинацию этих факторы. Ты можно проверить это, применив метод FOIL. Если ваш продукт приходит быть трехчленом, с которого вы начали, вы имеете право комбинация факторов. Если товар не соответствует заданному трехчлен, тогда вам нужно попробовать еще раз.




Обратите внимание, что у этого трехчлена нет GCF.

Итак, мы приступаем к разложению на множители трехчлена форма .


Шаг 1. Настройка произведение двух ( ), где каждый будет содержать два термина.


Это будет выглядеть так: ( )(      )


Шаг 2. Используйте пробную версию и ошибка, чтобы найти необходимые факторы.


В первых членах биномов нам нужны множители 3 х в квадрате.Это должно быть 3 x и x.

Во вторых членах бинома нам нужны множители из 2. Это должно быть 2 и 1. Я использовал положительные значения здесь, потому что среднее значение положительное.

Кроме того, нам нужно убедиться, что мы получаем правильный сочетание этих множители, так что, перемножив их, мы получим .


Возможный фактор Проверка методом FOIL
Первая попытка:

 

Это не наш исходный многочлен.

Так что надо попробовать еще раз.

 

 

Вторая попытка:

 

 

 

 

 

Это наш исходный многочлен.

Итак, это правильное сочетание факторов для этот полином.



Этот процесс занимает некоторое упражняться. После некоторое время вы привыкнете и сможете придумать правильный фактор с первой попытки.





Обратите внимание, что у этого трехчлена нет GCF.

Итак, мы приступаем к разложению на множители трехчлена форма 


Шаг 1. Настройка произведение двух ( ), где каждый будет содержать два термина.


Это будет выглядеть так: ( )(      )


Шаг 2: Использование суд и ошибка, чтобы найти необходимые факторы.


В первых членах биномов нам нужны множители из 5 х в квадрате.Это должно быть 5 x и x.

Во вторых членах бинома нам нужны множители из -8. Это должно быть -8 и 1, 8 и -1, 2 и -4 или -2 и 4. Поскольку произведение этих факторов должно быть отрицательным числом, нам нужно один положительный фактор и один отрицательный фактор.

Также нам нужно убедиться, что мы получаем правильный сочетание этих множители, так что, перемножив их, мы получим .


Возможные факторы Проверка методом FOIL
Первая попытка:

Это наш исходный многочлен.

Итак, это правильное сочетание факторов для этот полином.

 


Не каждый многочлен факторизуем. Так же, как не каждое число имеет коэффициент, отличный от 1 или самого себя. Простое число — это число это имеет ровно два множителя: 1 и самого себя. 2, 3 и 5 являются примерами из простые числа.

То же самое может произойти и с многочленами. Если многочлен не факторизуем, мы говорим, что это простой полином.

Иногда вы не узнаете, что это простое число, пока не начнете находясь в поиске факторы его. Как только вы исчерпали все возможности, ты можно назвать премьером. Будьте осторожны. Не думай, потому что ты не мог с первой попытки учесть, что это простое число. Вы должны идти сначала через ВСЕ возможности, прежде чем объявить его простым.



Обратите внимание, что у этого трехчлена нет GCF.

Итак, мы приступаем к разложению на множители трехчлена форма .


Шаг 1. Настройка продукта из двух ( ), где каждый будет содержать два термина.


Это будет выглядеть так это: ( )(      )



Шаг 2: Найдите факторы которые идут на первых позициях.


Так как у нас х в квадрате как наш первый срок, нам понадобится следующее:

( x )( x        )



Шаг 3: Найти факторы, которые идут на последних позициях.


Нам нужны два числа, произведение которых равно 12, а сумма равна 5.

Вы можете что-нибудь придумать????

Поскольку произведение — положительное число, а сумма положительный число, нам нужно только рассмотреть пары чисел, где оба знака положительный.

Одна пара множителей 12 равна 3 и 4, что не в сумме будет 5.
Другая пара множителей — это 2 и 6, что также не имеет значения. добавить до 5.
Другая пара множителей — это 1 и 12, которые также не складываются до 5.

Так как мы рассмотрели ВСЕ возможные факторы, и никто из них работал, мы можем сказать, что этот полином является простым. Другими словами, это не фактор.



Факторинг идеальный квадрат Трехчлен


ИЛИ


Это должно быть именно в этой форме, чтобы использовать это правило. Когда ты имеют основание, возведенное в квадрат плюс или минус удвоенное произведение двух базы плюс еще одно основание в квадрате, оно представляет собой сумму (или разность) основания возведены в квадрат.

Это реверс принадлежащий биномиальный квадрат найден в Уроке 6: Многочлены . Отзывать что факторинг является обратным умножению.




Во-первых, обратите внимание, что GCF не учитывается. многочлен.

Поскольку это трехчлен, вы можете попробовать разложить его на множители с помощью проб и ошибок, показанных выше .Но если вы можете распознать это он соответствует форме идеально квадратного трехчлена , вы можете сэкономить время.



*Соответствует форме идеального квадрата. трехчлен
*Множитель как сумма квадратов оснований


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал многочлен.






Во-первых, обратите внимание, что GCF не учитывается. многочлен.

Поскольку это трехчлен, вы можете попробовать разложить его на множители с помощью проб и ошибок, показанных выше . Но если вы можете распознать это он соответствует форме идеально квадратного трехчлена , вы можете сэкономить время.



*Соответствует форме идеального квадрата. трехчленный
*Коэффициент как разн. баз в квадрате


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал многочлен.




Факторинг Разница Два квадрата


Обратите внимание, что сумма двух квадраты НЕТ фактор.

Так же, как совершенный квадратный трехчлен, разница из двух квадратов должен быть именно в этой форме, чтобы использовать это правило. Когда ты имеют разность двух оснований, возведенных в квадрат, она учитывается как товар суммы и разности оснований, которые возводятся в квадрат.

Это реверс принадлежащий произведение суммы и разности двух членов из Урока 6: Полиномы . Напомним, что факторинг — это действие, обратное умножению.





Во-первых, обратите внимание, что GCF не учитывается. многочлен.

Это соответствует форме разницы из двух квадратов . Таким образом, мы будем использовать это правило:



*Соответствует форме дифференциала.из двух квадраты
*Учитывается как произв. суммы и диф. оснований


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал многочлен.





Во-первых, обратите внимание, что GCF не учитывается. многочлен.

Это соответствует форме разницы из двух квадратов . Таким образом, мы будем использовать это правило:



*Соответствует форме дифференциала. из двух квадраты
*Учитывается как произв. суммы и диф. оснований


Обратите внимание, что если мы умножим это и оригинальное выражение мы получили бы тот же многочлен.


Факторинг Сумма двух кубиков


Сумма двух кубов должна быть именно в этом форма для использования этого правило. Когда у вас есть сумма двух кубов, у вас есть произведение из двучлен и трехчлен.Бином представляет собой сумму оснований которые кубируются. Трехчлен – это квадрат первого основания, в второй член противоположен произведению двух найденных оснований, и третий член равен второму основанию в квадрате.




Во-первых, обратите внимание, что GCF не учитывается. многочлен.

Подходит для формы  сумма кубов . Таким образом, мы будем использовать это правило:


*Подходит для формы суммы двух кубы
*Бином представляет собой сумму оснований
*Трехчлен представляет собой 1-е основание в квадрате, минус произв. оснований плюс 2-е основание в квадрате


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал многочлен.


Факторинг Разница Два кубика


Рассчитывается аналогично сумме двух кубики. Обратите внимание, что единственное отличие состоит в том, что знак в биноме — это — что соответствует исходному знаку, а знак перед топором положительный, который является противоположным знаком.

Разница двух кубиков должна быть именно в этом форма для использования этого правило. Когда у вас есть разница в два куба, у вас есть товар двучлена и трехчлена. Бином представляет собой разность основания, которые кубируются. Трехчлен — это первое основание в квадрате, второй член противоположен произведению двух найденных оснований, а третий член равен второму основанию в квадрате.






Во-первых, обратите внимание, что GCF не учитывается. многочлен.

Подходит для формы  разница кубики . Таким образом, мы будем использовать это правило:


*Соответствует форме дифференциала.из два куба
*Биномиал разн. оснований
*Трехчлен равен 1-му основанию в квадрате, плюс прод. оснований плюс 2-е основание в квадрате


Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим оригинал многочлен.



Теперь, когда у вас есть список различных правил факторинга, давайте скажем все вместе.Ниже приведен контрольный список правил факторинга. которые мы рассмотрели в наших уроках.

Когда вам нужно учитывать фактор, вы ВСЕГДА ищите GCF первый . Независимо от того, есть ли у вас GCF или нет, тогда вы продолжаете искать, есть ли у вас что-нибудь еще, что факторы.

Ниже приведен контрольный список, чтобы убедиться, что вы не пропустите что-нибудь. Всегда фактор, пока вы не можете фактор больше.


Факторинговая стратегия

I. GCF:

Всегда сначала проверяйте GCF, несмотря ни на что.

 

II. Биномы:

 

III. Трехчлены:

а.

 

б. Метод проб и ошибок:

 

в. Совершенный квадратный трехчлен:



IV. Многочлены с четырьмя членами:





Первое, что мы всегда проверяем, когда факторинг ЧТО?

ЗКФ.В данном случае есть один.

Разлагая на множители GCF, равный 3, получаем:



*Умножьте 3 на каждый член


Затем мы оцениваем, есть ли что-то еще, что мы можем фактор. У нас есть трехчлен внутри (   ).Он подходит по форме совершенных квадратных трехчленов , поэтому мы будем фактор это соответственно:


*Соответствует форме идеального квадрата. трехчлен
*Множитель как сумма квадратов оснований


Мы больше не можем делать факторинг в этом проблема.

Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим исходный многочлен.





Первое, что мы всегда проверяем, когда факторинг ЧТО?

ЗКФ. В данном случае нет ни одного.

Итак, оцениваем, что имеем. Он соответствует форме разница из двух квадратов , поэтому мы будем учитывать это соответственно:



*Соответствует форме дифференциала.из двух квадраты
*Учитывается как произв. суммы и диф. оснований


Затем мы оцениваем, есть ли что-то еще, что мы может фактор. Обратите внимание, что второй бином представляет собой еще одну разницу в . из двух квадратов . Это означает, что мы должны продолжать факторинг Эта проблема.


*Соответствует форме дифференциала. из двух квадраты
*Учитывается как произв. суммы и диф. оснований


Мы больше не можем делать факторинг в этом проблема.

Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим исходный многочлен.





Первое, что мы всегда проверяем, когда факторинг ЧТО?

ЗКФ.В данном случае нет ни одного.

Итак, оцениваем, что имеем. Он соответствует форме суммы из двух кубов , поэтому мы соответственно разложим:



*Подходит для формы суммы двух кубы
*Бином представляет собой сумму оснований
*Трехчлен представляет собой 1-е основание в квадрате, минус произв. оснований плюс 2-е основание в квадрате


Мы больше не можем делать факторинг в этом проблема.

Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим исходный многочлен.





Первое, что мы всегда проверяем, когда факторинг ЧТО?

ЗКФ.В данном случае нет ни одного.

Итак, оцениваем, что имеем. Это трехчлен, который делает не подходит форма совершенного квадратного трехчлена. Похоже, нам придется использовать пробную версию и ошибка:



*Коэффициент методом проб и ошибок


Мы больше не можем делать факторинг в этом проблема.

Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим исходный многочлен.





Первое, что мы всегда проверяем, когда факторинг ЧТО?

ЗКФ. В данном случае нет ни одного.

Итак, оцениваем, что имеем. Это многочлен с четыре термина. Похоже, нам придется попробовать , разложив его на группировка:



*Группируйте по два
*Вычтите GCF из каждого отдельный ( )
*Вычтите GCF из ( x + 5 b )


Мы больше не можем делать факторинг в этом проблема.

Обратите внимание, что если мы умножим это, мы получим исходный многочлен.

 

 

Практические задачи


Это практические задачи, которые помогут вам следующий уровень. Это позволит вам проверить и понять, понимаете ли вы эти виды проблем. Математика работает так же, как что-нибудь иначе, если вы хотите добиться успеха в этом, вам нужно практиковаться Это. Даже лучшие спортсмены и музыканты получали помощь на этом пути и много практиковаться, практиковаться, практиковаться, чтобы преуспеть в своем виде спорта или игре на инструменте. На самом деле практики много не бывает.

Чтобы получить максимальную отдачу от них, вы должны работать проблема на свой собственный, а затем проверьте свой ответ, нажав на ссылку для ответ/обсуждение для этой проблемы . По ссылке вы найдете ответ а также любые шаги, которые привели к поиску этого ответа.

 

Практика Задачи 1a — 1f: Фактор полностью.




 

 

Нужна дополнительная помощь по этим темам?




видео на этом сайте были созданы Кимом Сьюардом и Вирджинией Уильямс Трайс.
Последняя редакция Ким Сьюард от 13 декабря 2009 г.
Авторские права на все содержимое (C) 2002–2010, WTAMU и Ким Сьюард. Все права защищены.

Фактор по группировке – методы и примеры

Теперь, когда вы научились разлагать многочлены на множители, используя различные методы, такие как; Наибольший общий множитель (НОД, сумма или разность двух кубов, метод разности двух квадратов и метод трехчленов.

Какой из этих методов вы считаете самым простым?

только при правильном их применении.

В этой статье мы изучим еще один простейший метод, известный как факторинг по группировке, но прежде чем перейти к теме факторинга по группировке, давайте обсудим, что такое факторинг полинома.

Многочлен — это алгебраическое выражение с одним или несколькими членами, в котором знак сложения или вычитания разделяет константу и переменную.

Общая форма полинома: + kx + l, где каждой переменной соответствует константа в качестве коэффициента.Различные типы полиномов включают в себя; двучлены, трехчлены и четырехчлены.

Примеры полиномов: 12x + 15, 6x 2  + 3xy – 2ax – ay, 6x 2  + 3x + 20x + 10 и т. д.

Как факторизовать по группировке?

Фактор по группировке полезен, когда нет общего множителя среди терминов, и вы разбиваете выражение на две пары и факторизуете каждую из них отдельно.

Разложение полиномов на множители — это операция, обратная умножению, поскольку она выражает полиномиальное произведение двух или более множителей.Вы можете факторизовать многочлены, чтобы найти корни или решения выражения.

Как разложить трехчлены на множители по группам?

Чтобы разложить на множители трехчлен формы ax 2  + bx + c с помощью группировки, мы выполняем процедуру, как показано ниже:

  • Найдите произведение старшего коэффициента «a» и константы «c».

⟹ a * c = ac

  • Найдите множители «ac», которые складываются с коэффициентом «b».
  • Перепишите bx как сумму или разность множителей ac, которые добавляются к b.

⟹ ax 2 + bx + c = ax 2 + (a + c) x + c

⟹ ax 2 + ax + cx + c

+ (c) 1 ax (х + 1)

⟹ (AX + C) (x + 1)

Пример 1

Фактор x 2 — 15x + 50

Решение

Найти два числа, сумма которых равно -15, а произведение равно 50.

⟹ (-5) + (-10) = -15

⟹ (-5) x (-10) = 50

Перепишите данный полином как;

x 2 -15x + 50⟹ x 2 -5x – 10x + 50

Разложить на множители каждый набор групп;

⟹ x(x – 5) – 10(x – 5)

⟹ (x – 5) (x – 10)

по группировке.

Решение

6Y 2 + 11y + 4 ⟹ 6y 2 + 3Y + Y + 4

⟹ (6y 2 + 3y) + (8y + 4)

⟹ 3y (2y + 1) + 4 (2y + 1)

= (2y + 1) (3y + 4)

пример 3

фактор 2x 2 — 5x — 12.

Решение

2x 2 – 5х – 12

= 2х 2 + 3х – 8х – 12

= х (2х + 3) – 4(2х + 3)

= (2х + 3) (х – 14)

Пример 4

фактора 3Y 2 + 14Y + 8

Решение
3Y 2 + 14Y + 8 ⟹ 3Y 2 + 12Y + 2y + 8

⟹ (3Y 2  + 12y) + (2y + 8)

= 3y (y + 4) + 2(y + 4)
Следовательно,

3y 2  + 14y + 8 = (y + 4) (3y + 2)

Пример 5

Коэффициент 6x 2 – 26x + 28

Решение

Умножьте старший коэффициент на последний член.
⟹ 6 * 28 = 168

Найдите два числа, сумма произведения которых равна 168, а сумма равна -26
⟹ -14 + -12 = -26 и -14 * -12 = 168

Запишите выражение, заменив bx на два числа.
⟹ 6x 2 – 26x + 28 = 6x 2  + -14x + -12x + 28 + 28)

= 2x (3x + -7) + -4(3x + -7)
Следовательно, 6x 2 – 26x + 28 = (3x -7) (2x – 4)

Как разложить биномы на множители по группировке?

Бином — это выражение, состоящее из двух членов, объединенных знаком сложения или вычитания.Чтобы разложить бином, применяются следующие четыре правила:

  • ab + ac = a (b + c)
  • a 2 – b 2  = (a – b) (a + b)
  • a 3 – б 3  = (а – б) (а 2  +аб + б 2 )
  • а 3 + б 3 7 3 8 а + б 3 AB + B 2 )

Пример 6

Фактор XYZ — x 2 Z

Решение

xyz — x

xyz — x 2 z = xz (y — x)

Пример 7

Фактор 6а 2 B + 4BC

6A 2 B + 4BC = 2B (3A 2 + 2C)

Пример 8

Фактор полностью: x 6 – 64

Раствор

x 6 – 64 = (x 3 ) 2 – 8


7 2 (x 3 + 8) (x 3 – 8) = (x+2) (x 2 − 2x + 4) (x − 2) (x 2 + 2x + 4)

Пример 9

Коэффициент: x 6 – y 6 .

Решение

x 6 – y 6 = (x + y) (x 2 – xy + y 2 ) (x − 7 7 3 y + y) (x 2924 2 )

Как разложить многочлены на множители по группировке?

Как следует из названия, разложение по группам — это просто процесс группировки терминов с общими факторами перед разложением на множители.

Чтобы разложить многочлен путем группировки, выполните следующие действия:

  • Проверьте, имеют ли члены многочлена наибольший общий делитель (GCF).Если это так, вычеркните это и не забудьте включить в свой окончательный ответ.
  • Разбейте многочлен на наборы по два.
  • Учтите GCF каждого набора.
  • Наконец, определите, можно ли еще разложить оставшиеся выражения на множители.

Пример 10

Факторизация 2ax + AY + 2BX + BY

Решение

2AX + AY + 2BX + на
= A (2x + Y) + B (2x + Y)
= (2x + Y) (A + B)

пример 11

фактор AX 2 — BX 2 + AY 2 — на 2 + AZ 2 — BZ 2

решения

AX 2 — BX 2 + AY 2 — на 2 + AZ 2 — BZ 2
= x 2 (A — B) + Y 2 (A — B) + Z 2 (a — b)
= (a — b) (x 2 + y 2 + z 2 )

Пример 12

Фактор 6x 2  + 3xy – 2ax – ay

Решение

6x 2  + 3xy – 2ax – ay
= 3x (2x + 2xy) + – a (2×0 + 0y) (3x – а)

9 0013 Пример 13

x 3 + 3x 2 + x + 3

решения

x 3 + 3x 2 + x + 3
= (x 3 + Пример 14

6x + 3xy + y + 2

Решение

6x + 3xy + y + 2 (2 + у)

= 3х (у + 2) + 1(у + 2)

= (у + 2) (3х + 1)

= (3х + 1) (у + 2)

Пример 15

AX 2 — BX 2 + AY 2 — AY 2 + AZ 2 — BZ 2
Решение
AX 2 — BX 2 + ау 2  – по 2  + аз 2  – бз 2

Вынести из каждой группы двух слагаемых GCF
⟹ x 2 (a – b) + y 2 (a – b) + z 2 (a – b)
= (a – b) ( x 2  + y 2  + z 2 )

Пример 16

Коэффициент 6x + 0 
 

Решение

Вынесите GCF в каждом наборе из двух членов.

⟹ 3x (2x + 1) + 10(2x + 1)

= (3x + 10) (2x + 1)

Пример факторинга | Плюс Финансовая Группа

Практический пример: Как факторинг может ускорить рост бизнеса?

The Widget Company («TWC»), начинающая компания, в настоящее время приносит 100 000 долларов продаж в месяц. Его новая линейка виджетов вызвала значительный интерес, и в настоящее время они продают их клиентской базе, состоящей из известных имен из списка Fortune 1000, и многие другие заинтересованы в покупке их продуктов.Однако TWC ограничен в денежном потоке; В настоящее время он не может больше производить виджеты, потому что его неспособность платить за дополнительные части виджетов и увеличивать фонд заработной платы, необходимый для удовлетворения этого возрастающего спроса.

Однако, если бы он смог получить доступ к дополнительным средствам, он потребовал бы от клиентов удвоить количество ежемесячных продаж. Банки, недовольные ограниченной историей TWC, отклоняют свои просьбы о банковском кредите. TWC обращается к фактору, который признает потенциал роста TWC и солидную клиентскую базу, и быстро разрабатывает решение, в котором TWC учитывает свои счета на сумму 100 000 долларов США с авансовой ставкой 75%, что позволяет ей получить необходимые 75 000 долларов США для финансирования дополнительных заказов со скидкой. платеж.В отличие от ожидания оплаты счета, TWC получает столь необходимое финансирование и теперь может удовлетворить растущий спрос своих клиентов.

Ежемесячно, без факторинга
Продажа 100 000
Стоимость материалов -50 000
Валовая прибыль 50 000 50%
Меньше
Расчет заработной платы -25 000
Постоянные затраты -10 000
Накладные расходы -35 000 -35%
Плата за факторинг 0
Всего расходов 0 -35%
Чистая прибыль 15 000 15%
Ежемесячно, с факторингом
Продажа 200 000
Стоимость материалов -100 000
Валовая прибыль 100 000 50%
Меньше
Расчет заработной платы -50 000
Постоянные затраты -10 000
Накладные расходы -60 000 -30%
Плата за факторинг -4000 -4%
Всего расходов -64 000 -32%
Чистая прибыль 36 000 18%

Этот кейс описывает реальные ситуации, с которыми сталкиваются многие малые предприятия, но Plus Funding стремится исследовать творческие решения для удовлетворения ваших уникальных потребностей. Свяжитесь с нами и позвольте нам помочь.

 

Уроки факторинга полностью — Уроки Wyzant

Введение

Предыдущие уроки факторинга были посвящены факторингу полинома с использованием одного шаблона, такого как

Уроки, связанные выше, дают систематические методы факторизации определенных типов многочленов. На практике решение уравнений с помощью факторинга часто требует использования более сложного процесса, который называется «Полный факторинг».В этом уроке объясняется, как полностью разложить число
на множители, комбинируя три основных метода, перечисленных выше.

Во-первых, давайте подробнее рассмотрим, зачем нам нужен процесс Factoring Completely. Изучите выражение ниже:

2 + 1)(х + 1)(х – 1)

Если упростить это выражение, то получится:

2 + 1)(х 2 + х – х – 1)

2 + 1)(х 2 – 1)

4

3 + х 8 8 – х 2 – 1)
х
4 – 1

Теперь вы должны распознать это выражение как разницу между двумя квадратами. Используя технику, представленную в уроке

Разница между двумя квадратами, мы можем учесть это в

2 + 1)(х 2 – 1)

Но обратите внимание, что это выражение отличается от факторизованного выражения, с которого мы начали. Нам нужен еще один шаг, чтобы учесть это в выражении, с которого мы начали. Вот где факторинг полностью приходит.

Процесс

Полный факторинг состоит из трех этапов:

  1. Фактор GCF из выражения, если это возможно.
  2. Разложите на множители трехчлен, если это возможно.
  3. Умножьте разницу между двумя квадратами как можно больше раз.

Первый пример

Давайте посмотрим, как это применимо к нашему исходному примеру:

4 – 1)

Шаг 1

Шаг первый – факторизовать GCF. Поскольку GCF x 4 и 1 равен 1, мы пропускаем этот шаг.

Шаг 2

Поскольку выражение содержит только два члена, мы не можем разложить трехчлен на множители.

Шаг 3

Факторинг (x 4 – 1) как разница между двумя квадратами приводит к

2 + 1)(х 2 – 1).

Теперь обязательно запомните ключевую фразу «как можно больше раз». Теперь мы должны посмотреть, есть ли где-нибудь еще мы можем факторизовать другую разницу между двумя квадратами. В (x 2 + 1) оба члена положительны, поэтому это нельзя учитывать. Однако
дюйма (x 2 – 1), второй член отрицателен, и в противном случае оба члена являются полными квадратами.Таким образом, (x 2 – 1) делится на (x + 1)(x – 1). В результате наше примерное выражение, наконец, учитывается в

2 + 1)(х + 1)(х – 1)

, который полностью учитывается.

Чем это отличается от нашей первой (и неудачной) попытки разложить пример на множители? При факторинге полностью мы использовали метод «Разница между двумя квадратами» более одного раза.

Второй пример

Давайте попробуем другой пример, который требует факторизации в шагах 1 и 2:

5x 3 – 10x 2 – 15x

Опять же, три шага в факторинге полностью:

  1. Фактор GCF из выражения, если это возможно.
  2. Разложите на множители трехчлен, если это возможно.
  3. Умножьте разницу между двумя квадратами как можно больше раз.

Шаг 1

Мы видим, что термины в нашем примере имеют наибольший общий делитель 5x. В соответствии с инструкциями мы вынесем этот GCF за скобки:

5x(x 2 – 2x – 3)

Шаг 2

Мы видим, что (x 2 – 2x – 3) является факторизуемым трехчленом, поэтому мы факторизуем его:

5х(х+1)(х-3)

Переходя к шагу 3, мы можем просмотреть наше выражение и увидеть, что ни 5x, ни (x + 1), ни (x – 3) нельзя разложить на множители двух квадратов.Мы полностью умножили 5x
3 — 10x 2 — 15x.

Последний пример

В нашем последнем примере мы будем использовать все три шага факторинга полностью.

12x 4 – 3x 2 – 54

Шаг 1

Выносим за скобки наибольший общий делитель числа 3.

3(4x 4 – x 2 – 18)

Шаг 2

3(4x 2 – 9)(x 2 + 2)

Шаг 3

Наконец, мы идентифицируем (4x 2 – 9) как двучлен, который можно разложить на (2x + 3)(2x – 3).Таким образом, полностью факторизованный результат

3(2x + 3)(2x – 3)(x 2 + 2).

Ресурсы факторинга полностью

Решение квадратных уравнений методом факторинга

Это самый простой метод решения квадратного уравнения, если биномиальное или трехчленное уравнения легко факторизуются. В противном случае нам понадобятся другие методы, такие как завершение квадрата или использование квадратичной формулы.

На следующей диаграмме показан основной подход к решению квадратного уравнения методом факторизации.


Основная идея использования метода факторинга для решения квадратного уравнения

Диаграмма выше предлагает следующие ключевые моменты:

  • Одна часть уравнения равна нулю.
  • Противоположная сторона должна содержать множители данного многочлена.
  • После того, как два условия, указанные выше, выполнены, теперь можно установить каждый фактор равным нулю, а затем найти значение неизвестной переменной.

Примеры решения квадратных уравнений методом факторинга

Пример 1 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение методом факторинга.

Я считаю этот тип проблемы «халявой», потому что она уже создана для нас, чтобы найти решения. Обратите внимание, что левая часть содержит множители некоторого многочлена, а правая часть просто нулевая!

Нам нужно просто приравнять каждый множитель к нулю и решить каждое уравнение относительно x.

Ответы: x = — \,7 и x = 2. Вы можете подставить эти значения x в исходное уравнение, чтобы проверить, являются ли они верными ответами. Я оставлю это вам в качестве упражнения.2} и x, я могу вынести x. Итак, чтобы найти общий коэффициент (это похоже на нахождение GCF), я умножу — \,2 и x, чтобы получить — \,2x.

Обратите внимание, я также могу вынести 2x вместо — \,2x. Окончательный ответ должен быть таким же. Попробуйте!


Пример 3 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.

Разлагали ли вы ранее трехчлен, где коэффициент квадрата члена равен + 1? Если нет, то очень просто.

Чтобы разложить этот трехчлен на два двучлена, мне нужно найти два числа (методом проб и ошибок), которые удовлетворяют двум заданным условиям:

  • Произведение этих двух чисел равно постоянному члену (последнему числу), который равен — 10.
  • Сумма этих двух чисел равна коэффициенту линейного члена, который равен + 3.

Поскольку произведение двух чисел отрицательно, я знаю, что эти числа должны иметь противоположные знаки. Более того, наличие суммы положительных чисел означает, что число с большим абсолютным значением должно быть положительным.

Если вы подсчитаете это в уме или с помощью бумаги и карандаша проведете возможные комбинации, два числа, которые могут удовлетворить заданным условиям, это + 5 и — 2. 3} и x, я могу убрать x. Следовательно, общее выражение, которое я могу выделить, — это их произведение: \left( 3 \right)\left( x \right) = 3x.

Обратите внимание, что после того, как я умножил на множители 3x, у меня остался «особый» бином, называемый «Разницей двух квадратов», который очень легко вычислить.

Средние знаки всегда противоположны (см. желтый).

Вот полное решение.

Вы должны выполнить обратную замену, чтобы убедиться, что x = 0, x = — \,3 и x = 3 являются правильными решениями.


Пример 5 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.

Первое, что я понимаю в этой задаче, это то, что одна часть уравнения не содержит нуля . Я могу легко получить ноль в правой части, вычитая обе части на 20.

После этого в левой части должен быть разлагаемый трехчлен, который очень похож на задачу 3.

Чтобы разложить этот трехчлен, подумайте о двух числа при умножении дают — 14 (постоянный член), а при сложении дает + 5 (коэффициент x-члена). Методом проб и ошибок цифры должны быть — 2 и 7. Вы можете проверить эту правильную комбинацию.

Окончательные ответы: x = 2 и x = — \,7.


Пример 6 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.

Решение:

Здесь мы имеем x = — 1,6 и x = 7 в качестве наших окончательных ответов.


Пример 7 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.

Решение:

Наши окончательные ответы: x = 5 и x = 1.


Пример 8 : Решите приведенное ниже квадратное уравнение с помощью метода факторинга.

Решение:

Окончательные решения: x = 1 и x = — 1,3.


Практика с рабочими листами


Вас также могут заинтересовать:

Решение квадратных уравнений методом квадратного корня
Решение квадратных уравнений по квадратной формуле Smartick

Еще раз привет! Вы знаете, что такое факторинг ? Вы знаете, для чего он используется? В этом посте мы ответим на эти вопросы.

Как учитывать

Факторизация числа выполняется путем записи числа как произведения всех его простых множителей.

Пример:

12 = 2 х 2 х 3

Вы также можете выразить это с помощью полномочий:

12 = 2 2 x 3

Если вы хотите увидеть больше примеров факторинга, нажмите здесь.

Теперь, когда мы знаем, как факторизовать, давайте посмотрим, для чего он полезен и как мы можем его использовать.

 

Вычисление наименьшего общего кратного (НОК)

НОК набора чисел вычисляется путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие кратные с наибольшим показателем степени и кратные, которые не являются общими. Они умножаются, и в результате получается LCM этих чисел.
Пример:

LCM (12, 20)

Факторим числа:

12 = 2 2 x 3

20 = 2 2 x 5

Теперь выбираем общие множители (22) и не общие множители (3 и 5)
Умножаем множители:

2 2 х 3 х 5 = 60

Следовательно, НОК (12, 20) = 60

Для вычисления наибольшего общего делителя (GCF)

GCF рассчитывается путем факторизации всех чисел. После факторизации выбираются общие множители, возведенные в меньшую степень. После этого коэффициенты умножаются.
Пример:

ЗКФ (30, 40)

Факторим числа:

30 = 2 х 3 х 5

40 = 2 3 x 5

Теперь мы выбираем самые высокие общие множители, возведённые в наименьший показатель степени (2 и 5)
Умножаем множители:

2 x 5 = 10
Следовательно, GCF (30, 40) = 10
    

Упрощение дробей

Дроби упрощаются делением числителя и знаменателя на одно и то же число до тех пор, пока они не будут иметь общих делителей.Пользоваться факторингом в этом случае очень просто: мы факторизуем числитель и знаменатель, затем сокращаем общие множители и, наконец, умножаем оставшиеся множители.
Пример: сначала разложите числитель и знаменатель.
Теперь сократите множители, которые находятся в числителе и знаменателе.
Факторы, которые остались, это факторы, которые мы должны умножить.
И это упрощенная дробь!

Чтобы выполнить умножение

Некоторые умножения могут быть проще, если сначала выполнить факторинг, поскольку множители можно удобно сгруппировать.
Пример:

25 х 12

Факторим числа:

25 = 5 х 5

12 = 2 х 2 х 3

Следовательно, 25 х 12 = 5 х 5 х 2 х 2 х 3

Возьмем 2 и 5 с одной стороны и остальные множители с другой.

Таким образом, мы можем выполнить умножение намного проще.

Как правило, факторинг можно использовать для упрощения числовых расчетов. Можете ли вы придумать какой-либо другой способ использования факторинга? Поделись с нами!

И вы уже знаете: чтобы продолжить изучение факторинга и всех предметов математики, зарегистрируйтесь в Smartick и станьте математическим гением ☺.

Узнать больше:

Веселье — любимый способ обучения нашего мозга

Дайан Акерман

Smartick — увлекательный способ изучения математики
  • 15 минут веселья в день
  • Адаптируется к уровню вашего ребенка
  • Миллионы учеников с 2009 года

Группа создания контента.
Мультидисциплинарная и мультикультурная команда, состоящая из математиков, учителей, профессоров и других специалистов в области образования!
Они стремятся создать наилучший математический контент.

Факторинг: методы и примеры | Жизнь Персона

Факторизация — это метод, с помощью которого многочлен выражается в форме умножения множителей, которые могут быть цифрами, буквами или и тем, и другим. Для факторизации факторы, общие для термов, группируются, и таким образом многочлен разлагается на несколько многочленов.

Таким образом, когда множители умножаются друг на друга, результатом является исходный многочлен.Факторизация — очень полезный метод, когда у вас есть алгебраические выражения, потому что ее можно преобразовать в умножение нескольких простых терминов; например: 2а 2 + 2аб = 2а * (а + б)

Есть случаи, когда полином нельзя разложить на множители, потому что между его членами нет общего множителя; таким образом, эти алгебраические выражения делятся только между собой и на 1. Например: x + y + z.

В алгебраическом выражении общий множитель — это наибольший общий делитель составляющих его членов.

index

  • 1 методы факторинга
    • 1.1 Факторинг по общему фактору
    • 1.2 Пример 1
    • 1.3 Пример 2
    • 1.4. Факторизация с группировкой
    • 1.5 Пример 1
    • 1.6 Факторизация по проверке
    • 1.7. Пример 1
    • 1.8 Пример 2
    • 1.9 Факторинг с известными продуктами
    • 1.10 Пример 1
    • 1.11 Пример 2
    • 1.12 Пример 3
    • 1.13 Факторинг по правилу Руффини
    • 1.14 Пример 1
  • 2 Ссылки

Методы факторинга

Существует несколько методов факторинга, которые применяются в зависимости от случая. Вот некоторые из них:

Факторизация по общему множителю

В этом методе выявляются те факторы, которые являются общими; то есть те, которые повторяются в терминах выражения. Затем применяется свойство дистрибутивности, удаляется наибольший общий делитель и завершается факторизация.

Другими словами, выявляется общий фактор выражения, и каждый термин делится между ним; полученные члены будут умножены на наибольший общий множитель, чтобы выразить факторизацию.

Пример 1

Фактор (b 2 x) + (b 2 Y).

Решение

Сначала есть общий делитель каждого члена, который в данном случае равен b 2 , а затем разделите члены между общим делителем следующим образом:

2 х) / б 2 = х

2 у) / б 2 = у.

Факторизация выражается умножением общего множителя на полученные члены:

2 х) + (б 2 у) = б 2 (х + у)

Пример 2

Разложить на множители (2a) 2 b 3 ) + (3ab 2 ).

Решение

В этом случае у нас есть два множителя, которые повторяются в каждом члене, это «а» и «b», и они возведены в степень.Чтобы их факторизовать, сначала два термина разбиваются на их длинную форму:

.

2 * до * до * б * б * б + 3а * б * б

Можно заметить, что множитель «а» повторяется только один раз во втором члене, а множитель «b» повторяется в нем дважды; так что в первом члене всего 2, множитель «а» и а «б»; а во втором сроке осталось только 3.

Поэтому мы записываем времена, когда «а» и «б» повторяются и умножаются на множители, оставшиеся от каждого члена, как показано на рисунке:

Факторизация по группировке

Поскольку не во всех случаях максимальный общий делитель многочлена явно выражен, необходимо выполнить другие шаги, чтобы иметь возможность переписать многочлен и, таким образом, разложить его на множители.

Один из этих шагов — сгруппировать члены многочлена в несколько групп, а затем использовать метод общего множителя.

Пример 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

Решение

Есть 4 фактора, из которых два являются общими: в первом члене это «c», а во втором — «d». Таким образом, два термина сгруппированы и разделены:

(ac + bc) + (ad + bd).

Теперь можно применить метод общего множителя, разделив каждый член на его общий множитель, а затем умножив этот общий множитель на полученные члены, например:

(ас + bc) / с = а + b

(ад + бд) / д = а + б

в (а + б) + г (а + б).

Теперь у вас есть бином, общий для обоих терминов. Фактор умножается на остальные множители; Таким образом, вы должны:

ac + bc + ad + bd = (c + d) * (a + b)

Факторизация путем проверки

Этот метод используется для факторизации квадратичных полиномов, также называемых трехчленами; то есть те, которые структурированы как ax 2 ± bx + c, где значение â???? аа???? отличен от 1. Этот метод также используется, когда трехчлен имеет вид x 2 ± bx + c и значение â???? аа???? = 1

Пример 1

Коэффициент x 2 + 5x + 6

Решение

У вас есть квадратный трехчлен вида x 2 ± bx + c.Чтобы сначала разложить его на множители, вы должны найти два числа, которые при умножении дают в результате значение â???? ка???? (то есть 6) и что его сумма равна коэффициенту â???? bâ????, что равно 5. Эти числа 2 и 3:

2 * 3 = 6

2 + 3 = 5.

Таким образом, выражение упрощается следующим образом:

2 + 2х) + (3х + 6)

Каждое слагаемое факторизуется:

— Для (x 2 + 2x) извлекается общий член: x (x + 2)

— Для (3x + 6) = 3 (x + 2)

Таким образом, остается выражение:

х (х +2) + 3 (х +2).

Так как у вас обычный двучлен, то для сокращения выражения умножаем на оставшиеся члены и надо:

х 2 + 5х + 6 = (х + 2) * (х + 3)

Пример 2

Коэффициент 4а 2 + 12а + 9 = 0,

Решение

У вас есть квадратный трехчлен вида ax 2 ± bx + c, и для его факторизации все выражение умножается на коэффициент x 2 ; в данном случае 4.

2 + 12а +9 = 0

2 (4) + 12а (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 а 2 + 12а (4) + 36 = 0

4 2 от до 2 + 12а (4) + 36 = 0

Теперь мы должны найти два числа, которые при умножении дают в результате значение «с» (которое равно 36), а при суммировании дают коэффициент при члене «а», который равен 6.

6 * 6 = 36

6 + 6 = 12.

Таким образом выражение переписывается с учетом того, что 2 в 2 = 4а * 4а. Поэтому применяется распределительное свойство для каждого терма:

(4а+6) * (4а+6)

Наконец, выражение делится на коэффициент 2 ; то есть 4:

(4а + 6) * (4а + 6) / 4 = ((4а + 6) / 2) * ((4а + 6) / 2).

Выражение выглядит следующим образом:

2 + 12а +9 = (2а +3) * (2а + 3)

Факторинг с известными продуктами

Бывают случаи, когда полное разложение полиномов с помощью предыдущих методов становится очень долгим процессом.

Вот почему можно разработать выражение с формулами замечательных продуктов, и, таким образом, процесс становится проще. Среди наиболее часто используемых известных продуктов:

— Разность двух квадратов: (a 2 — b 2 ) = (a — b) * (a + b)

— Полный квадрат суммы: a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

— Полный квадрат разности: a 2 — 2ab + b 2 = (a — b) 2

— Разность двух кубов: a 3 — b 3 = (a-b) * 2 + ab + b 2 )

— Сумма двух кубов: а 3 — b 3 = (a + b) * 2 — ab + b 2 )

Пример 1

Коэффициент (5 2 — х 2 )

Решение

В этом случае разница в два квадрата; поэтому применяется формула замечательного продукта:

2 — б 2 ) = (а — б) * (а + б)

(5 2 — х 2 ) = (5 — х) * (5 + х)

Пример 2

Коэффициент 16x 2 + 40x + 25 2

Решение

В этом случае у нас есть полный квадрат суммы, потому что мы можем идентифицировать два члена в квадрате, а оставшийся член является результатом двукратного умножения квадратного корня из первого члена на квадратный корень из второго члена.

от

до 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2

Для факторинга вычисляются только квадратные корни первого и третьего членов:

√ (16 х 2 ) = 4 х

√ (25 2 ) = 5,

Затем два полученных слагаемых разделяются знаком операции, и весь полином возводится в квадрат:

16x 2 + 40x + 25 2 = (4x + 5) 2 .

Пример 3

Фактор 27а 3 — б 3

Решение

Выражение представляет собой вычитание, при котором два множителя возводятся в куб. Для их факторизации применяется формула значимого произведения кубической разности:

до 3 — b 3 = (a-b) * (до 2 + ab + b 2 )

Таким образом, чтобы разложить на множители, кубический корень каждого члена двучлена извлекается и умножается на квадрат первого члена плюс произведение первого члена на второй плюс второй член на квадрат.

27а 3 — б 3

³â???? (27а 3 ) = 3а

³â???? (-б 3 ) = -б

27a 3 — b 3 = (3a — b) * [(3a) 2 + 3ab + b 2 )]

27а 3 — б 3 = (3а — б) * (9а 2 + 3аб + б 2 )

Факторинг по правилу Руффини

Этот метод используется при наличии полинома степени больше двух, чтобы упростить выражение до нескольких полиномов меньшей степени.

Пример 1

Коэффициент Q (x) = x 4 — 9x 2 + 4x + 12

Решение

Сначала найдите числа, которые являются делителями 12, что является независимым членом; это ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Затем x заменяется этими значениями, от низшего к высшему, и таким образом определяется, с каким из значений деление будет точным; то есть остальные должны быть 0:

х = -1

Q (-1) = (-1) 4 — 9 (-1) 2 + 4 (-1) + 12 = 0

х = 1

Q (1) = 1 4 — 9 (1) 2 + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

х = 2

Q (2) = 2 4 — 9 (2) 2 + 4 (2) + 12 = 0

И так для каждого делителя. В этом случае найдены множители для x = -1 и x = 2.

Теперь применим метод Руффини, согласно которому коэффициенты выражения будут делиться между найденными множителями для точности деления. Члены полинома упорядочены от наибольшего к наименьшему показателю степени; в случае отсутствия члена со степенью, следующей за ним в последовательности, на его место ставится 0.

Коэффициенты расположены на схеме, как показано на следующем рисунке.

Первый коэффициент понижается и умножается на делитель. В этом случае первый делитель равен -1, а результат помещается в следующий столбец. Затем значение коэффициента прибавляется по вертикали к тому результату, который был получен, и результат помещается ниже. Таким образом, процесс повторяется до последнего столбца.

Затем снова повторяется та же процедура, но со вторым делителем (равным 2), поскольку выражение все еще можно упростить.

Таким образом, для каждого полученного корня многочлен будет иметь член (x — a), где «a» — значение корня:

(х — (-1)) * (х — 2) = (х + 1) * (х — 2)

С другой стороны, эти члены должны быть умножены на оставшуюся часть правила Руффини 1:1 и -6, которые являются коэффициентами, представляющими класс. Таким образом получается выражение: (x 2 + x — 6).

Получение результата факторизации полинома методом Руффини:

x 4 — 9x 2 + 4x + 12 = (x + 1) * (x — 2) * (x 2 + x — 6)

В завершение полином степени 2, фигурирующий в предыдущем выражении, можно переписать как (x + 3) (x-2).Следовательно, окончательная факторизация:

х 4 — 9х 2 + 4х + 12 = (х + 1) * (х — 2) * (х + 3) * (х-2).

Каталожные номера
  1. Артур Гудман, LH (1996).

Похожие записи

Вам будет интересно

Схема факторинга: Договор и схема факторинга.

Как рассчитать фактическую себестоимость: Как посчитать фактическую себестоимость готовой продукции пример. Как рассчитать себестоимость продукции. Как рассчитать себестоимость реализованной продукции. Общее понятие себестоимости

Добавить комментарий

Комментарий добавить легко